分治与递归

分治法的基本思想：将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。递归地解这些问题，然后将各个子问题的解合并成原问题的解。它的一般的算法设计模式如下：

divide-and-conquer(P)

  {

    if ( | P | <= n0) adhoc(P);   //解决小规模的问题

    divide P into smaller subinstancesP1,P2,...,Pk；//分解问题

    for (i=1,i<=k,i++)

      yi=divide-and-conquer(Pi);  //递归的解各子问题

    return merge(y1,...,yk);  //将各子问题的解合并为原问题的解

  }

人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。

分治法的适用条件：

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加，因此大部分问题满足这个特征。
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质这条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划。
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。

分治法的复杂性分析：

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

递归的概念：

直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。

分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。

1. 采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
2. 用递推来实现递归函数。
3. 通过变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。

后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。