一、梯度
1、导数、偏微分、梯度的区别：
1）导数：是标量，是在某一方向上变化的效率
2）偏微分，partial derivate：特殊的导数，也是标量。函数的自变量的方向，函数的自变量越多，偏微分就越多。
3）梯度，gradient：把所有的偏微分集合成向量，是向量。
梯度向量的长度代表函数在当前点变化的速率。
2、梯度的作用：
1）作用通过梯度来找到函数的极小值
2）如何找到极小值，通过以下公式：
学习步长就是学习率。
不断更新自变量，当偏导（梯度）趋近于0的时候，函数值也就趋近于极小值。
3）举例：
3、梯度的优化方法：
不同的优化方法具有不同的效率、准确率。有的快，有的准确率高。主要通过以下几个方向优化：
1）初始化数据(initialization)
初始状态的不同，对结果的影响可能有很大区别
如果不清楚的话，就使用目前主流的初始化方法。
2）学习率(learning rate)
过大会导致数据不收敛，过小会导致计算量的增加。
3）动量(monument)
给数据一个惯性，当惯性达到一定程度后，可以减少数据陷入局部极小值的情况。
4、凸函数（convex function）：
向一个碗一样，两点中点处，均值大于实际值，如下图所示
5、局部极小值（local minima）：
局部极小值较多的情况的解决办法：
6、鞍点（saddle point）：
一个点，在某一方向上是极小值，在另一方向上又是极大值。如下图中红点所示：
二、激活函数
1、激活函数的点
1）作用
当函数值达到某一阈值后，激活函数将函数值设置为特定值（根据激活函数公式而定），从而达到激活的目的
2）激活函数均不可导
2、常用激活函数
1）sigmoid
* sigmoid导数（derivative）:
* sigmoid用处：
a）因为sigmoid输出的值是在0~1之间，所以适用于概率问题；也适用于图像的RGB问题，因为RGB值是0~255之间
b）sigmoid的缺点：因为sigmoid函数在处于+∞和-∞时候，导数趋近于0，会使得数据处于更新非常缓慢（长时间loss保持不变的情况），即：梯度弥散问题。
* sigmoid函数的pytorch实现
2）tanh
输出值在[-1, 1]之间
在RNN里面用得比较多
* tanh的求导推导过程
* tanh在pytorch中的实现
3）relu（Rectified Liner Unit，调整的线性流单元）
* 被大量的实验证明，relu函数很适合做deep learning。
因为：z<0时，梯度是0，z>0时，梯度是1。因为在向后传播时候，因为梯度是1，所以对于搜索最优解，梯度计算时候非常方便，也不会被放大和缩小，很难出现梯度弥散和梯度爆炸的情况。所以在神经网络中优先使用此函数。
* relu在pytorch中的实现
三、Loss以及Loss的梯度
1、MSE（mean square error）：均方差
pytorch中mse的求解方法：torch.norm().pow(2) # 要记得平方
* MSE求导
* 使用pytorch自动求导
1）法一：
使用torch.autograd.grad()
2）法二：
使用mse.backward()
* 注意w.norm()，w.grad()，w.grad().norm()的区别：
w.norm()是均方差的平方根
w.grad()是导数
w.grad().norm()是导数的均方差的平方根
2、Cross Entropy Loss：
Softmax:
* softmax特点：
1）输出的所有值的范围是0~1
2）所有概率之和等于1。(注：sigmoid函数，所有概率的和一般是不等于1的）
输出概率最大值的 索引。
3）会将原有值之间的差距拉大。
* softmax求导：
1）当i=j时
2）当i ≠ j时
3）综合
* softmax在pytorch中的实现
上图中最后4行，分别表示：δp1/δai ，δp2/δai （i∈[0, 2]）求偏导