61. 从1到n，共有n个数字，每个数字只出现一次。从中随机拿走一个数字x，请给出最快的方法，找到这个数字。如果随机拿走k(k>=2)个数字呢？[find k missing numbers from 1 to n]

【本文链接】

http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/find-k-missing-numbers-from-1-to-n.html

 【题目】

从1到n，共有n个数字(无序排列)，每个数字只出现一次。现在随机拿走一个数字x，请给出最快的方法，找到这个数字。要求时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。如果随机拿走k(k>=2)个数字呢？

【分析】

题目给出的条件很强，数字是从1~n的数字，限制了数字的范围；每个数字只出现一次，限制了数字出现的次数；随即拿走了一个数字，说明只有一处是与其他不同、不符合规律的。我们可以利用这些特点来选择合适的解法。

(1)Hash法。利用Hash法统计数字出现的次数，次数为0的即为所求。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)。通常这不是面试、笔试时想要的答案，但是Hash的优势在于其通用性。

(2)排序法。利用快排，得到排序后的数组，然后顺序遍历，统计次数为0的数字。时间复杂度O(nlgn)，空间复杂度O(1)。其时间复杂度略高，通常也不是面试官期待的解法，但排序法也算是一种通用做法。

(3)元素相乘/相加法。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。

元素相乘法：由于只有一个元素被拿走，因此我们只需要先算出n的阶乘n!，再除以现存所有数字的乘积M，即可得到拿走的数字x (x=n!/M)。但是且缺陷是n不能太大，否则会溢出。

元素相加法：先算出从1到n的所有数字的和Sn，然后减去现有所有数字的和sum，即可得到拿走的数字x(x=Sn-sum)。元素相加法比元素相乘要更好一些。

(4)位运算。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。

位运算法如果可以使用的话，应该是计算最快的方法。但是位运算对条件要求也较苛刻，一般需要元素有特殊规律，才有可能使用这种方法。在本题目中，对1~n所有元素进行xor运算得到A=1^2^3^…^(x-1)^x^(x+1)^…^n，在对取走一个元素后剩下的元素进行xor运算得到B=1^2^3^…^(x-1)^(x+1)^…^n，二者xor即可得拿走的数字x = A^B。因为在A^B的过程中相同的数字都被抵消掉了，剩余的结果即为x。

【代码】

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

// 61_FindMissingNumberFrom1toN.cpp : Defines the entry point for the console application. // /*     version: 1.0     author: hellogiser     blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser     date: 2014/5/28 */ #include "stdafx.h" /* A=1^2^3^...^(x-1)^x^(x+1)^...^n B=1^2^3^...^(x-1)^(x+1)^...^n x = A^B n=9 1,2,3,4,6,7,8,9 x = 5 */ int FindMissingNumberFrom1ToN(int data[], int n) {     int length = n - 1;     if(NULL == data || length <= 0)         return -1;     // xor all     int xor_all = 0;     for(int i = 1; i <= n; i++)         xor_all ^= i;     // xor of current array     int xor_current = 0;     for(int i = 0; i < length; i++)         xor_current ^= data[i];     //get result     int result = xor_all ^ xor_current;     return result; } void test_base(int data[], int n) {     int result = FindMissingNumberFrom1ToN(data, n);     printf("%d  ", result); } void test_case1() {     int data[] = {1, 2, 3};     int length = sizeof(data) / sizeof(int);     test_base(data, length + 1); } void test_case2() {     int data[] = {2, 3, 4};     int length = sizeof(data) / sizeof(int);     test_base(data, length + 1); } void test_case3() {     int data[] = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9};     int length = sizeof(data) / sizeof(int);     test_base(data, length + 1); } void test_main() {     test_case1();     test_case2();     test_case3(); } int _tmain(int argc, _TCHAR *argv[]) {     test_main();     return 0; } /* 4 1 5 */

【扩展】

如果随机拿走两个数字呢？如果随机拿走k(k>2)个数字呢？

（1）（2）是通用做法，仍适合。

（3）扩展：

K=1时，构造2个等式。

Sa = 1+2+…(x-1)+x+(x+1)…+n

Sb = 1+2+…(x-1)+(x+1)…+n

X = Sa-Sb

K=2时，构造4个等式。

S2a = 1²+2²+…+x²+…+y²+…+n

S2b = 1²+2²+…(x-1)²+(x+1)²…+(y-1)²+(y+1)²…+n

S1a = 1+2+…+x+…+y+…+n

S1b = 1+2+…(x-1)+(x+1)…+(y-1)+(y+1)…+n

则有x²+y²=S2a-S2b，x+y =S1a-S1b。可以求解得到x和y。

同理(k>2)，构造2*k个等式，可以得到关于k个数的k个方程，求解即可得到k个数字。

（4）扩展：

思考一下，如何扩展？

【参考】

http://ouscn.diandian.com/post/2013-10-06/40052170552

【本文链接】

http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/find-k-missing-numbers-from-1-to-n.html