期望简述

概念

数学期望，简称期望，就是指在实验中事件发生的概率乘以该事件的价值的总和，可以反应随机变量的平均取值大小

离散型变量:若一个变量的值域为一段或几段区间，且该变量的取值是有限或无限个，但是能够按一定次序枚举列出，则称其为离散型随机变量，对应的，它的每个取值的概率 (p(i)) 与它的对应取值 (a_i) 的乘积之和，即为期望值( (E(X)) )，称为离散型随机变量的数学期望，即：(E(X)=sum_{i=1}{a_i imes p(i)})

连续型变量：在该变量的值域上，无法按照某种次序将这些变量的取值一一列出，则称其为连续型随机变量

性质

• 一个常量的期望等于它本身（显然，常量被取到的概率为 (1) ）

• 和的期望等于期望的和，即 (E(X+Y)=E(X)+E(Y)) (这个性质最为常用)

• (E(CX)=C imes E(X)) ( (C) 为一个常量，(X) 为一个事件)

• 若 (X , Y) 为两个相互独立的事件，则有 (E(XY)=E(X)E(Y))

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/P6858

题意简述:

有一个长为 (n+m) 的 (01) 串，其中有 (n) 个 (1) 和 (m) 个 (0) ，每次可以进行一次操作，可以将一个 (0) 删除，同时将串中剩余的所有 (0) 都变为 (1) ，或者是将一个 (1) 变为 (0) ，等概率选择一个位置进行操作，要将该串全部删除，求期望操作次数

分析

首先考虑 (m=0) 的情况，那么在串中就只有 (n) 个 (1) ，进行一次操作，无论选取哪个位置，都会变为 (n-1) 个 (1) ，以及 1 个 (0) ，对于下一次操作，就有 (frac{1}{n}) 的概率选中为 (0) 的位置，将其删除，变为含有 (n-1) 个 (1) 的 (01) 串，或者是以 (frac{n-1}{n}) 选中一个为 (1) 的位置，将其变为 (0) ，但同时，该串中的另一个 (0) 就会变为 (1) ，仍然为 (n-1) 个 (1) ，(1) 个 (0) 的串，设 (g(i)) 为含有 (i) 个 (1) ，不含 (0) 的串，则期望操作数为 : (g(i) = 1 + frac{1}{i} imes g(i-1) + frac{i-1}{i} imes g(i))

经过移项整理，我们可以得到 (g(i) = i + g(i-1) + 1) ，将 (g(0)=0) 代入推导，可得 (g(i)=frac{(i+3) imes i}{2})

之后，我们考虑 (m!=0) 时，设 f(i) 为有 (n) 个 (1) ， (i) 个 (0) 的串需要操作的期望数，显然，我们有 (frac{i}{n+i}) 的概率选中 (0) ，将其变为一个 (n-1) 个 (1) ， (i) 个 (0) 的串 ，对该串的期望操作数即为 (f(i-1)) ，同时，我们有 (frac{n}{n+i}) 的概率选到一个 (1) ，将其变为 (0) ,同时将其余的 (i) 个 (0) 变为 (1) ,变为一个 (n+i-1) 个 (1) ， (1) 个 (0) 的串，此时，该串的期望操作数就是 (g(n+i)-1)

由此，我们可以得到一般的递推式：设 (f(i)) 表示有 (n) 个 (1) ， (i) 个 (0) 的串的期望操作次数，则 (f(i)=1+frac{i}{n+i} imes f(i-1) + frac{n}{n+i} imes (g(n+i)-1)) ， (f(0)=g(n))

递推即可

https://www.luogu.com.cn/problem/P6154

题意简述

定义一个图中的一条路径长度为经过的边数，在图中等概率地选择一条路径（路径的起点与终点可以相同），求一个有向无环图的期望路径长度

分析

对于整个图来说，因为期望的和等于和的期望，那么设 (sum) 为所有路径长度的总和， (cnt) 为路径数量，则期望为 (E(X)=frac{sum}{cnt})

只需维护以 (i) 为起点的路径数及其路径长度总和，记忆化搜索即可

Code

ll a[maxn],b[maxn];//a[]表示以 i 为起点的路径长度总和，b[] 表示以 i 为起点的路径总数
vector<ll> e[maxn];//存图

inline void dfs(ll x)//记忆化搜索
{
	if(b[x]) return ;
	b[x]=1;
	for(int i=0;i<e[x].size();i++)
	{
		ll y=e[x][i];
	
		dfs(y);
		
		(a[x]+=a[y]+b[y])%=mod;
		(b[x]+=b[y])%=mod;
	}
}