树状数组自学笔记
树状数组和线段树都是查询(O(logn))的数据结构。
但是为什么很多人宁愿用树状数组而不是用线段树呢？
因为树状数组写起来比线段树在一定程度上简单多了。（Author：理解看了这篇文章也OK）
但是！树状数组维护的数据局限性要比线段树要大——这验证了一句话：
越复杂的数据结构时间复杂度越小，但是越暴力的算法全能性越大。
真理......
Author：好我们先不扯淡了
先来上一个例子：
如果给你一个数列（n个数），然后让你求出区间([l,r])的和。
分类讨论一下n：
若(nleq1000)，很明显，暴力。
若(nleq 10000)，继续吸氧暴力......
若(n leq 10^6)......线段树？
但是，作为蒟蒻，我表示线段树RE好几次了......
咋整啊......
这时候，一种新的算法腾空出世：前缀和！
一、树状数组基础1——前缀和
前缀和，采取动态规划思想，通项公式：
(n[i]=n[i-1]+a[i])
然后有点数学常识就可以看得出来(O(1))访问区间和(？？详见下注)。
Tip:第n项+之前的和就是(a[n]),询问第n项即(a[n]-a[n-1])
以上只不过是思想基础1，下面才是真正扯的树状数组。
二、树状数组原理
1.我们先来观察这样一个图：
蓝的是左儿子，红的是右儿子（废话）
然后看看线段树，我们发现线段树的节点是有重叠部分的——父节点各种重叠，导致空间存储各种爆炸。
如果我们去掉这个烦人的重叠，发现好像空间复杂度降低了，时间复杂度不变。
空间到底是减少了多少呢？
手算一下：
最上面是减少了(1over 2)
然后是(1 over 4)
(1over 8)......
空间竟然一步步变成了O(n)......
2.但是怎么访问呢？？？
神奇的地方来了：
再看一个图——
我们发现凡是(2^n)都是一群单个1的，然后是，然后是......
恍然大悟——
原来我们只需要前缀和一样的存储方式
前缀和一样的访问方式
（戴望舒：OI一样的凄婉迷茫）
然后我们要加上或者减去一个数的二进制中所在的位2^二进制中1所在的位
——这时候再引入一个东西
3.lowbit
求最低位权。
num的位权就是num最低位的'1'和左边的'0'(如果有的话)组成的数字
(Tip:位权不一定是二进制)
根据计算机补码（位运算玄学操作），lowbit(n)=n & -n
int lowbit(n){return n & -n;}
于是我们得到如下操作：
很明显：(C_n = A_{(n – 2^k + 1)} + ... + A_n)
相对于维护，这样的计算省下多少力气...
我们使用一个while循环来实现根节点到子节点的循环。
使用树状数组只需要反复进行某些步骤就好了：
- 1.初始化
sum=0; - 2.如果(nleq 0),停止；否则就(sum+=c[n]);
- 3.(n-=lowbit(n);)然后是第二步。
int ask_(int k)//前k个数的和
{
int ans=0;//初始化ans=0
while(k>0)//不超过左界
{
ans+=t[k];//加上左边所有节点的数字
k-=lowbit(k);
}
return ans;
}
int ask_seg(int l,int r)
{
return ask_(r)-ask_(l);
}
以上代码是求区间[1,k]的方式。
Tip：(sum_{i=x}^y[x,y])等同于求$(sum_{i=1}yarray[i],iin[1,y])-(sum_{j=1}x array[j],jin[1,x]) $。
如果是单点修改呢？
void change_p(int pos,int num)
{
while(i<=n)//0.在数组内部
{
c[i]=c[i]+x;//1.修改
i+=lowbit(i);//2.跳转到下一个与其有关的值
}
}
现在又面临一个严峻的问题：
区间修改咋整啊？
我们还是引进新的概念——
三、树状数组基础2——数列差分
差分简直是一个神奇的东西。。。
首先我们介绍这个还得引入一个问题：
如何快速地改变一个数列的值？朴素算法
常数大了呢？
差分！
差分数组定义：
我们求出一个类似dp求差分数组的公式：
然后动动脑子（Author：没有nz），如果我们从dp[1]~dp[n]反向还原加起来就得到了原数组。
更有意义的是如果我们仅仅对dp数组进行修改，仅仅需要修改两个数——
假设修改区间([x,y]),就改dp[x]和dp[y+1]。
为啥呢？如果我们dp[x]+=num，相当于对后面所有的元素都产生了+num的影响，然后再通过dp[y+1]改回来就完了。
这跟树状数组有什么关系？
类比一下：因为我们树状数组修改父亲节点会对子节点产生一个影响...
对！修改前面的节点和后面的节点+1的地方！
但是注意我们修改不是向左（根）修改，是向右（叶子）修改。
如果想要单点修改和区间修改同时出现咋整？
单点p不就是假的区间[p,p]嘛！
我们开两种树状数组，一个是原序列的前缀和，另外一个就是前面说的差分数组。
然后操作一下差分的树状数组pos1=p,pos2=p+1，以及前缀和树状数组就OK了。
区间修改操作：
void modify(int pos,int num)
{//实现向右改数组的基本操作
while (p<=n)//向右
{
sum[pos]+=num;
pos+=lowbit(pos);
}
}
void change_seg(int l,int r,int num)
{
modify(l,num);//差分左侧
modify(r,-num);//差分右侧
}
然后好像还有最后一个问题——
单点查询
由于我们差分了树状数组，单点查询就变成了区间查询的操作。
为啥？不是刚说了吗，前面所有的加起来不就是这个点的值嘛！
操作：
void ask_p(int pos)
{
int res=0;
while (pos>0)//限定左边
{
res+=a[pos];//还原现场
pos-=lowbit(pos);//向左循环
}
return res;
}
所以我们得到了如下基本操作：
单点修改、单点查询、区间修改、区间查询。
总结一下，整个学习过程分为两个大的板块：
- 前缀和思想：单点修改+区间查询
- 差分数列思想：区间修改+单点查询。
然后我们甚至可以拿这个毒瘤数据结构解逆序对问题。
Tip:
离散化原先数组，然后食用本数据结构