POJ 3468 A Simple Problem with Integers（树状数组区间更新）

今天来学习一下怎么用BIT区间更新的，BIT速度比线段树速度更快，也更好写。

我们来看一下当给区间[l,r]整体加上一个常数c会前缀s_i发生什么变化？

i < l ，s_i不变； l ≤ i ≤ r，s_i 增加 了c*(i-l+1)； r < i，s_i 增加了c*(r-l+1)。

如果画出增量与下标的坐标图，我们可以发现两边增加的都是常量，而中间的散点在一条斜率为c的直线上。

因此我们可以用一个斜率和常数的组合来表示前缀和，s_i = b₁ *i + b₂。

那么给区间[l,r]加上c可以表示为：

1. [l,r]上每个结点的斜率加上c，b₁上l位置加c，r+1位置减c。

2.虽然步骤1更新了[l,r]的斜率，但是增量却往上平移了c*(l-1)，因此在b₂上l位置减掉c*(l-1)。

3.最后更新r < i之后的常数，在b₂上r+1位置加上掉c*(r)。

运行效率对比： 未加I/O挂

BIT 1891ms，线段树(适当维护信息) 2349ms ， 线段树(懒操作) 2500ms 。 

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*            ------------------                          *
*   author AbyssalFish                                   *
**********************************************************/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+1;
ll C[2][maxn];
ll psum[maxn];
int N;
inline void add(ll C[],int x,int d)
{
    while(x <= N){
        C[x] += d;
        x += x&-x;
    }
}

inline ll sum(ll C[],int x)
{
    ll ret = 0;
    while(x > 0){
        ret += C[x];
        x &= x-1;
    }
    return ret;
}

inline ll query(int x){ return sum(C[1],x)*x+sum(C[0],x); }

//#define LOCAL
int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    int Q; scanf("%d%d",&N,&Q);
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        scanf("%I64d", psum + i);
        psum[i] += psum[i-1];
    }
    char op[2];
    while(Q--){
        int l,r; scanf("%s%d%d",op,&l,&r);
        if(*op == 'Q'){
            printf("%I64d
",query(r)-query(l-1)+psum[r]-psum[l-1]);
        }else {
            int c; scanf("%d",&c);
            add(C[1],l,c);
            add(C[1],r+1,-c);
            add(C[0],l,c*(1-l));
            add(C[0],r+1,c*(r));
        }
    }
    return 0;
}