小谈导数、梯度和极值

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记得在高中做数学题时，经常要求曲线的切线。见到形如之类的函数，不管三七二十一直接求导得到，这就是切线的斜率，然后就得到了处的切线。

上大学又学习了曲面切线和法向量的求法，求偏导是法向量，然后套公式求出切线。

一个经典例子如下：

（来自web上某个《几何应用》ppt）

其中的向量n是F(x,y,z)的偏导数。

然而，这两者求法看似无关啊，中求得的是切线，然而下面的求偏导后却是法向量，为啥都是求导，差别这么大呢？切平面的方程为啥又是与法向量有关呢？

当然这些问题的问答都可以通过严格的数学推导完成。这里想从更加直白的角度来说明道理。

首先，法向量（梯度）是F(X)（其中X={x0,x1,x2,…xn}是n维向量）对各个分量求偏导后的结果，代表了F(X)在各个方向的变化率，整个法向量就是F(X)在各个方向上变化率叠加出来的向量。如对于一维的F(x)=，在x上导数是2x，意味着在x方向上是以2x的速度变化，比如当x=2时，F(x)变化率为4大于当x=1时（变化率为2）的变化率，法向量的方向只能是x方向，因为F(X)是一维。这里的F(X)称为隐函数，如我们平时使用的使用隐函数就可以表示成F(x,y)=f(x)-y，这样其实F(x,y)是二维的。至于为什么导数就是变化率，可以通过导数的定义就可以知道了（微小的dx变化引起多大的dy变化）。

那么我们明白了，隐函数F(X)的法向量就是F(X)对各个分量的偏导数的向量。那么为何中求得的是切线，而不是法向量？其实我们不能搞混了隐函数F(X)和。隐函数是一个函数，它的值根据X的取值不同而不同。而只是x和y之间满足的约束关系，如建立x-y坐标，两者的约束关系可以通过图形（直线、曲线等）来表示。比如我们可以用来表示一条抛物线，而且能够在x-y坐标系下画出来。而换用隐函数表示就是F(x,y)=，只有当F(x,y)等于一个给定值（比如0时），它才是一条抛物线，否则它只是一个函数，如果用z来代替F(x,y)，那么F(x,y)其实是一个曲面，维度上升了1。我们对F(x,y)求偏导后的结果其实就是F(x,y)的值z的变化率。

说明F(x,y)的值究竟将在(x,y)的小范围能变化多少，这个变化率决定于x方向上的微小变换dx和y方向上微小变换dy的线性组合，而他们的系数就是偏导数。将dx和dy换成单位向量i和j就是法向量了。那么梯度也就反映了F(X)在某一点的变化率和变换方向。

说的有点绕口，简而言之，对于一个隐函数F(X)，我们想知道在给定X附近F(X)的变化方向和大小。怎么去刻画？由于X的各个方向（x0，x1，x2…xn）上变化速率和方向都不同（比如在x0上以平方级别变化，在x1上以线性方式变化，这个要根据具体的表达式了），而我们想知道他们叠加在一块是怎么变化的。我们使用全微分公式（比如上面的，可以知道他们之间的叠加系数就是偏导数，叠加结果就是变化率，而方向就是x0，x1，x2…相应的变化方向i，j，k…等线性组合得到的方向。

回到为什么“中求得的是切线”的问题，其实这是最终结论了，是推导出来的。第一步我们将写成隐函数（这里的x，y都是实数了，上面的X是向量），。

然后求F对x的偏导得=

求F对y的偏导得-1。

即梯度是

由于切线和法向量是垂直的，因此切线和法向量内积为0。

设切线方向向量为(m,n)，那么，即。

可见，切线斜率是。

回到上面蓝色图片中的曲面求切平面问题，求出某点的法向量后，在该点的切平面要满足两个条件，一是要过切点，而是要反映出该点的变化方向（这里不是该点F(X)值的变化方向，而是该点自己的变化方向）。然而该点的变化最终要反映出该点F(X)值的变化，也就是切平面的变化要反映出法向量的变化，而偏导数正是反映出了F(X)值的变化。因此切平面的偏导数与F(X)的偏导数是一样的。我们从蓝色图片中看到，切平面正是利用了F(X)的偏导数。

有上面的全微分公式，我们可以更好地理解极值，为什么常说函数取得极值的时候导数为0呢。假设一维情况，吧，要求极小值，两边微分后得，当x=0时，导数2x为0，取得极值。否则，如果x为正数，那么dx只需向左调整(dx<0)，就能使F(x)值变小，如果x为负数，那么dx只需向右调整（dx>0），就能使F(x)变小。因此最后调整结果是x=0。对于二维情况，

的值在计算后会有正负值，但我们应该注意到dx可正可负，dy也可正可负，只要有一个不为0，那么通过调整dx，dy的正负号（也就是确定怎么移动x和y）就可以使的值变大变小。只有在偏导数都是0的情况下，无论如何调整dx和dy，都是0，取得极值。

以上只是一些个人浅显理解，目的是建立感性认识，会存在一些纰漏。