BiLSTM-CRF学习笔记（原理和理解） 维特比

BiLSTM-CRF 被提出用于NER或者词性标注，效果比单纯的CRF或者lstm或者bilstm效果都要好。

根据pytorch官方指南(https://pytorch.org/tutorials/beginner/nlp/advanced_tutorial.html#bi-lstm-conditional-random-field-discussion)，实现了BiLSTM-CRF一个toy级别的源码。下面是我个人的学习理解过程。

1. LSTM

LSTM的原理前人已经解释的非常清楚了：https://zhuanlan.zhihu.com/p/32085405
BiLSTM-CRF中，BiLSTM部分主要用于，根据一个单词的上下文，给出当前单词对应标签的概率分布，可以把BiLSTM看成一个编码层。
比如，对于标签集{N, V, O}和单词China，BiLSTM可能输出形如(0.88,-1.23,0.03)的非归一化概率分布。
这个分布我们看作是crf的特征分布输入，那么在CRF中我们需要学习的就是特征转移概率。

2. CRF

主要讲一下代码中要用到的CRF的预测（维特比解码）
维特比算法流程:
1.求出位置1的各个标记的非规范化概率δ1(j)δ1(j)

δ1(j)=w∗F1(y0=START,yi=j,x),j=1,2,…,mδ1(j)=w∗F1(y0=START,yi=j,x),j=1,2,…,m

2.由递推公式（前后向概率计算）

δi(l)=max(1≤j≤m){δi−1(j)+w∗Fi(yi−1=j,yi=l,x)},l=1,2,…,lδi(l)=max(1≤j≤m){δi−1(j)+w∗Fi(yi−1=j,yi=l,x)},l=1,2,…,l

每一步都保留当前所有可能的状态ll 对应的最大的非规范化概率，
并将最大非规范化概率状态对应的路径（当前状态得到最大概率时上一步的状态yiyi）记录
Ψi(l)=argmax(1≤j≤m){δi−1(j)+w∗Fi(yi−1=j,yi=l,x)}=argmaxδi(l),l=1,2,…,mΨi(l)=arg⁡max(1≤j≤m){δi−1(j)+w∗Fi(yi−1=j,yi=l,x)}=argmax⁡δi(l),l=1,2,…,m
就是PijPij的取值有m*m个，对每一个yjyj，都确定一个（而不是可能的m个）能最大化概率的yiyi状态

3.递推到i=ni=n时终止
这时候求得非规范化概率的最大值为

maxy{w∗F(y,x)}=max(1≤j≤m)δn(j)=max(1≤j≤m){δn−1(j)+w∗Fn(yn−1=Ψn−1(k),yi=l,x)},l=1,2,…,mmaxy⁡{w∗F(y,x)}=max(1≤j≤m)δn(j)=max(1≤j≤m){⁡δn−1(j)+w∗Fn(yn−1=Ψn−1(k),yi=l,x)},l=1,2,…,m

最优路径终点

y∗n=argmax(1≤j≤m)δn(j)yn∗=arg⁡max(1≤j≤m)⁡δn(j)

4.递归路径
由最优路径终点递归得到的最优路径（由当前最大概率状态状态对应的上一步状态，然后递归）

y∗i=Ψi+1(y∗i+1),i=n−1,n−2,…,1yi∗=Ψi+1(yi+1∗),i=n−1,n−2,…,1

求得最优路径：

y∗=(y∗1,y∗2,…,y∗n)Ty∗=(y1∗,y2∗,…,yn∗)T

3. 损失函数

最后由CRF输出，损失函数的形式主要由CRF给出
在BiLSTM-CRF中，给定输入序列X，网络输出对应的标注序列y，得分为

S(X,y)=∑ni=0Ayi,yi+1+∑ni=1Pi,yiS(X,y)=∑i=0nAyi,yi+1+∑i=1nPi,yi

（转移概率和状态概率之和）
利用softmax函数，我们为每一个正确的tag序列y定义一个概率值

p(y│X)=eS(X,y)∑y'∈YXeS(X,y')p(y│X)=eS(X,y)∑y′∈YXeS(X,y′)

在训练中，我们的目标就是最大化概率p(y│X) ，怎么最大化呢，用对数似然（因为p(y│X)中存在指数和除法，对数似然可以化简这些运算）
对数似然形式如下：

log(p(y│X)=loges(X,y)∑y∈YXes(X,y′)=S(X,y)−log(∑y′∈YXes(X,y′))log⁡(p(y│X)=log⁡es(X,y)∑y∈YXes(X,y′)=S(X,y)−log⁡(∑y′∈YXes(X,y′))

最大化这个对数似然，就是最小化他的相反数：
￥−log(p(y│X))=log(∑y′∈YXes(X,y′))−S(X,y)−log⁡(p(y│X))=log⁡(∑y′∈YXes(X,y′))−S(X,y)$
(loss function/object function)
最小化可以借助梯度下降实现

在对损失函数进行计算的时候，前一项S(X,y)S(X,y)很容易计算，
后一项log(∑y′∈YXes(X,y′))log⁡(∑y′∈YXes(X,y′))比较复杂，计算过程中由于指数较大常常会出现上溢或者下溢，
由公式 log∑e(xi)=a+log∑e(xi−a)log∑e(xi)=a+log⁡∑e(xi−a)，可以借助a对指数进行放缩，通常a取xixi的最大值（即a=max[Xi]a=max⁡[Xi]），这可以保证指数最大不会超过0，于是你就不会上溢出。即便剩余的部分下溢出了，你也能得到一个合理的值。

又因为log(∑yelog(∑xex)+y)log⁡(∑yelog(∑xex)+y)，在loglog取ee作为底数的情况下，可以化简为
log(∑yey∗elog(∑xex))=log(∑yey∗∑xex)=log(∑y∑xex+y)log⁡(∑yey∗elog⁡(∑xex))=log⁡(∑yey∗∑xex)=log⁡(∑y∑xex+y)。
log_sum_exp因为需要计算所有路径，那么在计算过程中，计算每一步路径得分之和和直接计算全局得分是等价的，就可以大大减少计算时间。
当前的分数可以由上一步的总得分+转移得分+状态得分得到，这也是pytorch范例中
next_tag_var = forward_var + trans_score + emit_score 
的由来

注意，由于程序中比较好选一整行而不是一整列，所以调换i,j的含义，t[i][j]表示从j状态转移到i状态的转移概率

直接分析源码的前向传播部分，其中_get_lstm_features函数调用了pytorch的BiLSTM

def forward(self, sentence):
    """
    重写前向传播
    :param sentence: 输入的句子序列
    :return:返回分数和标记序列
    """
    lstm_feats = self._get_lstm_features(sentence)
    score, tag_seq = self._viterbi_decode(lstm_feats)
    return score, tag_seq
    

源码的维特比算法实现，在训练结束，还要使用该算法进行预测

def _viterbi_decode(self, feats):
    """
    使用维特比算法预测
    :param feats:lstm的所有输出
    :return:返回最大概率和最优路径
    """ 
    backpointers = []

    # step1. 初始化
    init_vvars = torch.full((1, self.tagset_size), -1000.)
    # 初始化第一步的转移概率
    init_vvars[0][self.tag_to_idx[START_TAG]] = 0

    # 初始化每一步的非规范化概率
    forward_var = init_vvars 

    # step2. 递推
    # 遍历每一个单词通过bilstm输出的概率分布
    for feat in feats:
        # 每次循环重新统计
        bptrs_t = []
        viterbivars_t = []
        
        for next_tag in range(self.tagset_size):
            # 根据维特比算法
            # 下一个tag_i+1的非归一化概率是上一步概率加转移概率（势函数和势函数的权重都统一看成转移概率的一部分）
            next_tag_var = forward_var + self.transitions[next_tag]
            # next_tag_var = tensor([[-3.8879e-01,  1.5657e+00,  1.7734e+00, -9.9964e+03, -9.9990e+03]])

            # 计算所有前向概率（?）
            # CRF是单步线性链马尔可夫，所以每个状态只和他上1个状态有关，可以用二维的概率转移矩阵表示

            # 保存当前最大状态
            best_tag_id = argmax(next_tag_var)
            # best_tag_id = torch.argmax(next_tag_var).item()
            bptrs_t.append(best_tag_id)

            # 从一个1*N向量中取出一个值（标量），将这个标量再转换成一维向量
            viterbivars_t.append(next_tag_var[0][best_tag_id].view(1))  

        # viterbivars 长度为self.tagset_size，对应feat的维度
        forward_var = (torch.cat(viterbivars_t) + feat).view(1, -1)
        # 记录每一个时间i，每个状态取值l取最大非规范化概率对应的上一步状态
        backpointers.append(bptrs_t)
    
    # step3. 终止
    terminal_var = forward_var + self.transitions[self.tag_to_idx[STOP_TAG]]
    best_tag_id = argmax(terminal_var)
    path_score = terminal_var[0][best_tag_id]

    # step4. 返回路径
    best_path = [best_tag_id]
    for bptrs_t in reversed(backpointers):
        best_tag_id = bptrs_t[best_tag_id]
        best_path.append(best_tag_id)

    # Pop off the start tag (we dont want to return that to the caller)
    start = best_path.pop()
    assert start == self.tag_to_idx[START_TAG]  # Sanity check
    best_path.reverse()
    return path_score, best_path

源码的损失函数计算

def neg_log_likelihood(self, sentence, tags):
    """
    实现负对数似然函数
    :param sentence:
    :param tags:
    :return:
    """
    # 返回句子中每个单词对应的标签概率分布
    feats = self._get_lstm_features(sentence)
    forward_score = self._forward_alg(feats)
    gold_score = self._score_sentence(feats, tags) # 输出路径的得分（S（X,y））
    # 返回负对数似然函数的结果
    return forward_score - gold_score


def _forward_alg(self, feats):
    """
    使用前向算法计算损失函数的第一项log(sum(exp(S(X,y’))))
    :param feats: 从BiLSTM输出的特征
    :return: 返回
    """
    init_alphas = torch.full((1, self.tagset_size), -10000.)

    init_alphas[0][self.tag_to_idx[START_TAG]] = 0.

    forward_var = init_alphas

    for feat in feats:
        # 存放t时刻的 概率状态
        alphas_t = [] 
        for current_tag in range(self.tagset_size):
            # lstm输出的是非归一化分布概率
            emit_score = feat[current_tag].view(1, -1).expand(1, self.tagset_size)

            # self.transitions[current_tag] 就是从上一时刻所有状态转移到当前某状态的非归一化转移概率
            # 取出的转移矩阵的行是一维的，这里调用view函数转换成二维矩阵
            trans_score = self.transitions[current_tag].view(1, -1)

            # trans_score + emit_score 等于所有特征函数之和
            # forward 是截至上一步的得分
            current_tag_var = forward_var + trans_score + emit_score
            
            alphas_t.append(log_sum_exp(current_tag_var).view(1))
        forward_var = torch.cat(alphas_t).view(1, -1) # 调用view函数转换成1*N向量
    terminal_var = forward_var + self.transitions[self.tag_to_idx[STOP_TAG]]

    alpha = log_sum_exp(terminal_var)
    return alpha

def _score_sentence(self, feats, tags):
    """
    返回S(X,y)
    :param feats: 从BiLSTM输出的特征
    :param tags: CRF输出的标记路径
    :return:
    """
    score = torch.zeros(1)
    tags = torch.cat([torch.tensor([self.tag_to_idx[START_TAG]], dtype=torch.long),tags])
    for i, feat in enumerate(feats):
        score = score + self.transitions[tags[i + 1], tags[i]] + feat[tags[i + 1]]
    score = score + self.transitions[self.tag_to_idx[STOP_TAG],tags[-1]]
    return score