算法学习之---蓄水池抽样问题

问题：怎样在无限大的数据流中随机选取K个数据，保证当前遍历过的i个元素中每个元素被选中的概率均为 k/i？从而对于n个元素，每个元素被选中的概率均为 k/n。

解：对于前k个元素，我们直接选中放入一个虚拟的蓄水池中，对于第 k+1 个元素。我们用 k/(k+1) 的概率选中它。一旦选中了。就随机替换掉蓄水池中的某一个元素，这样前 k 个被选中的元素在第 k+1 个元素到来时依旧被选中的概率即为它不被替换掉的概率：

p = 1*(1-被替换掉的概率q)

         q = k/(k+1) * 1/k               #即前k个元素中某个元素被替换时，某个被替换的概率为 1/k

这样 p = k/(k+1)

     对于当前被遍历到的第 k+1 个元素，它被放到蓄水池中的概率就是它被选中的概率。即 k/(k+1)，由于仅仅要它被选中，就一定会替换掉蓄水池中的某个元素而留在水池中。

     同理，对于第 m +1 个元素（m>>k）的到来。前m个元素被选中的概率均为 k/m。进行第 m+1 次选择时，前 m 个元素依旧保留在蓄水池中的概率为：

p = k/m * { 1 - [ k/(m+1) * 1/k ] } = k/(m+1)            #即 p=之前在水池中的概率*(1 - 被第m+1个元素替换替换掉的概率 )

或者 p = k/m * { (m+1-k)/(m+1) + [ k/(m+1) * (k-1)/k ] } = k/(m+1)    #即 p=之前在水池中的概率*(第m+1个元素未被选中的概率 + 第m+1个元素被选中可是替换了其它k-1个元素的概率)

代码实现时，遍历到第 i 个元素时（i>k），能够直接生成一个 （1，i）之间的随机数 r ，假设 r<=k，那么就让当前第 i 个元素替换蓄水池中的第 r 个元素就可以，把选中和替换哪一个元素融合为一步了，概率是不变的。即被选中的概率为 k/i。蓄水池中的 k 个元素每个被替换的概率也为 1/k 。

Init : a reservoir with the size： k
        for i= k+1 to N
            R=random(1, i);
            if( R < k)
                 SWAP the R th value and i th value
       end for

參考：http://blog.csdn.net/lxmky/article/details/7951099