什么是Catalan数
说到Catalan数,就不得不提及Catalan序列,Catalan序列是一个整数序列,其通项公式是我们从中取出的就叫做第n个Catalan数,前几个Catalan数是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, …咋看之下没什么特别的,但是Catalan数却是许多计数问题的最终形式。
Catalan数的一些性质
Catalan数的基本公式就是上个部分所列出的那样,但是却有一些变形和具体的性质:
1、
这是根据原来的式子推导出来的,大概过程是这样的:
2、
这个递推式很容易可以从原来的式子中获得
3、
4、
5、
这个是Catalan数的增长趋势。
Catalan数在组合计算中的应用
1、矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?
思路:可以这样考虑,首先通过括号化,将P分成两个部分,然后分别对两个部分进行括号化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an),然后再对(a1)和(a2×a3.....×an)分别括号化;又如分成(a1×a2)×(a3.....×an),然后再对(a1×a2)和(a3.....×an)括号化。
设n个矩阵的括号化方案的种数为f(n),那么问题的解为
f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)两部分,然后分别括号化。
计算开始几项,f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。结合递归式,不难发现f(n)等于h(n-1)。
2、一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?
3、n个节点构成的二叉树,共有多少种情形?
4、n对括号有多少种匹配方式?
5、在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
6、求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数?
7、描述:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?
8、拥有
9、n*n的方格地图中,从一个角到另外一个角,不跨越对角线的路径数为h(n).例如, 4×4方格地图中的路径有:
10、圆桌周围有 2n个人,他们两两握手,但没有交叉的方案数为h(n)
11、说16个人按顺序去买烧饼,其中8个人每人身上只有一张5块钱,另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个,开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气,每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。h(8)=1430,所以总数=1430*8!*8!
12、在图书馆一共6个人在排队,3个还《面试宝典》一书,3个在借《面试宝典》一书,图书馆此时没有了面试宝典了,求他们排队的总数?
h(3)=5;所以总数为5*3!*3!=180.
13、对于集合的不交叉划分的数目为,这里解释一下不交叉划分,我们对于集合{a,b}和{c,d},假设他们组成了两个区间[a,b]和[c,d],我们假设两个区间不重合,那么以下四种情况当做是不交叉的:a<c<d<b,a<b<c<d,c<a<b<d与c<d<a<b,就是说两个区间可以包含或者相离,那么此时我们称集合{a,b}和{c,d}是不交叉的。对于集合,将里面元素两两分为一子集,共n个,若任意两个子集都是不交叉的,那么我们称此时的这个划分为一个不交叉划分。此时不交叉的划分数就是我们的了,证明也很容易,我们将每个子集中较小的数用左括号代替,较大的用右括号代替,那么带入原来的1至2n的序列中就形成了合法括号问题,就是我们第二点的结论。例如我们的集合{1,2,3,4,5,6}的不交叉划分有五个:{{1,2},{3,4},{5,6}},{{1,2},{3,6},{4,5}},{{1,4},{2,3},{5,6}},{{1,6},{2,3},{4,5}}和{{1,6},{2,5},{3,4}}。
14、n层的阶梯切割为n个矩形的切法数也是。如下图所示:
我们注意到每个切割出来的矩形都必需包括一块标示为*的小正方形,那么我们此时枚举每个*与#标示的两角作为矩形,剩下的两个小阶梯就是我们的两个更小的子问题了,于是我们的注意到这里的式子就是我们前面的性质3,因此这就是我们所求的结果了。
15、在一个2*n的格子中填入1到2n这些数值使得每个格子内的数值都比其右边和上边的所有数值都小的情况数也是。
16、平面上连接可以形成凸包的2n个点分成2个一组连成n条线段,两两线段之间不相交的情况总数是,
Catalan数问题的一个变形:
n+m个人排队买票,并且满足,票价为50元,其中n个人各手持一张50元钞票,m个人各手持一张100元钞票,除此之外大家身上没有任何其他的钱币,并且初始时候售票窗口没有钱,问有多少种排队的情况数能够让大家都买到票。
这个题目是Catalan数的变形,不考虑人与人的差异,如果m=n的话那么就是我们初始的Catalan数问题,也就是将手持50元的人看成是+1,手持100元的人看成是-1,任前k个数值的和都非负的序列数。
这个题目区别就在于n>m的情况,此时我们仍然可以用原先的证明方法考虑,假设我们要的情况数是,无法让每个人都买到的情况数是,那么就有,此时我们求,我们假设最早买不到票的人编号是k,他手持的是100元并且售票处没有钱,那么将前k个人的钱从50元变成100元,从100元变成50元,这时候就有n+1个人手持50元,m-1个手持100元的,所以就得到,于是我们的结果就因此得到了,表达式是。
关于Catalan数的变形还有很多,本身组合数学就是一门十分有趣的学科,通过不停地分析,求解我们能够不断增加自己思维的严谨性和全面性。