CF 316E3 Summer Homework(斐波那契矩阵+线段树)

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/316/E3

题意：一个数列A三种操作：（1）1 x y将x位置的数字修改为y；（2）2 x y求[x,y]区间的数字的和，和函数为如下；（3）3 x y z将[x,y]区间的数字统一加z。

思路：很明显，这是一个线段树的题目。其中第一种和第三种操作都很容易搞定，第一种直接更新到底；第三种增加标记。显然为了求和，我们必须要在节点上增加一个和，表示以这个节点为根的子树的数字的和函数，这里我们用a来表示。那么，到这里有两件事情要解决：

（1）如何在区间增加一个值x时更新a？设该区间为[L,R]，则增加的和为：

（2）已知两段数字的和函数，如何拼接成一个和函数？设前一段为3，后一段为4，那么我们要将后一段修改，修改前为：

修改后为：

为了方便，我们先看看怎么把（1,1,2,3）变为（1,2,3,5），也就是：

其实就是：

我们用a表示某段内（设这一段有x个数）x个数的和函数，b表示后x-1个数的和函数，那么上面其实就是a+b，得到A，那么B怎么得到呢？（AB和ab对应，我们发现B=a），因此我们得到转移矩阵：

注意这个的b和B是为了方便计算我们要新加到线段树节点中的值。那么上面(1,1,2,3)到(3,5,8,13)的转变岂不是成了：

到这里，我们就解决了两段和函数拼成一段的方法。

 

struct Matrix
{
    i64 a[2][2];


    void init(int x)
    {
        clr(a,0);
        if(x==1) a[0][0]=a[1][1]=1;
        else if(x==2) a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=1;
    }


    Matrix operator*(Matrix p)
    {
        Matrix ans;
        ans.init(0);
        int i,j,k;
        FOR0(k,2) FOR0(i,2) FOR0(j,2)
        {
            ans.a[i][j]+=a[i][k]*p.a[k][j];
            ans.a[i][j]%=mod;
        }
        return ans;
    }
};


Matrix A[N];
i64 f[N];

void init()
{
    A[0].init(1);
    A[1].init(2);
    int i;
    for(i=2;i<N;i++) A[i]=A[i-1]*A[1];


    f[0]=f[1]=1;
    for(i=2;i<N;i++) f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod;
    for(i=1;i<N;i++) f[i]=(f[i]+f[i-1])%mod;
}


struct node
{
    int L,R;
    i64 a,b,flag;


    node(){}
    node(i64 _a,i64 _b)
    {
        a=_a;
        b=_b;
    }


    node det(int t)
    {
        i64 x=(a*A[t].a[0][0]+b*A[t].a[0][1])%mod;
        i64 y=(a*A[t].a[1][0]+b*A[t].a[1][1])%mod;
        return node(x,y);
    }


    void add(i64 x)
    {
        flag=(flag+x)%mod;
        a=(a+f[R-L]*x)%mod;
        if(R>L) b=(b+f[R-L-1]*x)%mod;
    }


    node operator+(node p)
    {
        i64 x=(a+p.a)%mod,y=(b+p.b)%mod;
        return node(x,y);
    }
};


node a[N<<2];
int b[N];


void pushUp(int t)
{
    if(a[t].L==a[t].R) return;
    int mid=(a[t].L+a[t].R)>>1;
    node temp=a[t*2+1].det(mid-a[t].L+1);
    a[t].a=(a[t*2].a+temp.a)%mod;
    a[t].b=(a[t*2].b+temp.b)%mod;
}


void pushDown(int t)
{
    if(a[t].L==a[t].R) return;
    if(a[t].flag)
    {
        a[t*2].add(a[t].flag);
        a[t*2+1].add(a[t].flag);
        a[t].flag=0;
    }
}


void build(int t,int L,int R)
{
    a[t].L=L;
    a[t].R=R;
    a[t].flag=a[t].b=0;
    if(L==R)
    {
        a[t].a=b[L];
        return;
    }
    int mid=(a[t].L+a[t].R)>>1;
    build(t*2,L,mid);
    build(t*2+1,mid+1,R);
    pushUp(t);
}


void change(int t,int pos,int x)
{
    if(a[t].L==a[t].R)
    {
        a[t].a=x;
        a[t].b=0;
        a[t].flag=0;
        return;
    }
    pushDown(t);
    int mid=(a[t].L+a[t].R)>>1;
    if(pos<=mid) change(t*2,pos,x);
    else change(t*2+1,pos,x);
    pushUp(t);
}


void change(int t,int L,int R,int x)
{
    if(a[t].L==L&&a[t].R==R)
    {
        a[t].add(x);
        return;
    }
    pushDown(t);
    int mid=(a[t].L+a[t].R)>>1;
    if(R<=mid) change(t*2,L,R,x);
    else if(L>mid) change(t*2+1,L,R,x);
    else
    {
        change(t*2,L,mid,x);
        change(t*2+1,mid+1,R,x);
    }
    pushUp(t);
}


node query(int t,int L,int R)
{
    if(a[t].L==L&&a[t].R==R) return a[t];
    pushDown(t);
    node A,B;
    int mid=(a[t].L+a[t].R)>>1;
    if(R<=mid) A=query(t*2,L,R);
    else if(L>mid) A=query(t*2+1,L,R);
    else
    {
        A=query(t*2,L,mid);
        B=query(t*2+1,mid+1,R);
        A=A+B.det(mid-L+1);
    }
    pushDown(t);
    return A;
}


int n,m;


int main()
{
    init();
    Rush(n)
    {
        RD(m);
        int i;
        FOR1(i,n) RD(b[i]);
        build(1,1,n);
        int op,x,y,z;
        while(m--)
        {
            RD(op);
            if(op==1)
            {
                RD(x,y);
                change(1,x,y);
            }
            else if(op==2)
            {
                RD(x,y);
                PR(query(1,x,y).a);
            }
            else
            {
                RD(x,y,z);
                change(1,x,y,z);
            }
        }
    }
}