图的最大匹配算法

定义：在一个无向图中，定义一条边覆盖的点为这条边的两个端点。找到一个边集S包含最多的边，使得这个边集覆盖到的所有顶点中的每个顶点只被一条边覆盖。S的大小叫做图的最大匹配。

二分图的最大匹配算法：设左边集合为A集合，有边集合为B集合。二分图最大匹配常用的有两种方法。

（1）第一种方法叫做匈牙利算法。这个方法依次枚举A中的每个点，试图在B集合中找到一个匹配。对于A集合中一点x，假设B集合中有一个与其相连的点y，若y暂时还没有匹配点，那么x可以和y匹配，找到；否则，设y已经匹配的点为z（显然z是A集合中的一个点），那么，我们将尝试为z找到一个除了y之外的匹配点，若找到，那么x可以和y匹配，否则x不能与y匹配。

我们以下图为例说明匈牙利匹配算法。

step1：从1开始，找到右侧的点4，发现点4没有被匹配，所以找到了1的匹配点为4 。得到如下图：

step2：接下来，从2开始，试图在右边找到一个它的匹配点。我们枚举5，发现5还没有被匹配，于是找到了2的匹配点，为5.得到如下图：

step3:接下来，我们找3的匹配点。我们枚举了5，发现5已经有了匹配点2。此时，我们试图找到2除了5以外的另一个匹配点，我们发现，我们可以找到7，于是2可以匹配7，所以5可以匹配给3，得到如下图：

此时，结束，我们得到最大匹配为3。

（2）第二种方法叫做Hopcroft-Karp算法。这个算法大致思想与第一个方法相同。不同之处在于，这个方法每次找到一组互不相交的增广路径。我们用下面的例子说明。

step1：我们从所有未找到增广路径的点，也就是1,2,3,4开始，找增广路径，我们找到了1->2,3->3两条（左边的红线表示增广路径），然后沿着这些增广路径求匹配点，得到了右边的图，即1匹配2,3匹配3。

一般图的最大匹配算法：我们从一个没有匹配的节点s开始，使用BFS生成搜索树。每当发现一个节点u，如果u还没有被匹配，那么就可以进行一次成功的增广，即s匹配u；否则，我们就把节点u和它的配偶v一同接到树上，之后把ｖ丢进队列继续搜索。我们给每个在搜索树上的点一个类型：S或者T。当ｕ把它的配偶ｖ扔进队列的时候，我们把ｕ标记为T型，ｖ标记为S型。于是，搜索树的样子是这样的：

否则，我们找到了一个长度为奇数的环，如下图所示

 就要进行一次“缩花”的操作！所谓缩花操作，就是把这个环缩成一个点。这个图缩花之后变成了５个点（一个大点，或者叫一朵花，加原来的４个点）：缩点完成之后，还要把原来环里面的T型点统统变成S型点，如下图

之所以能缩成一个点，是因为，一个长度为奇数的环（例如上图中的s-b-d-j-f-c-a-s），如果我们能够给它中的任意一个点找一个出度，那么环中的其他点正好可以配成对，这说明，每个点的出度都是等效的。这就是缩点的思想来源。

 

 

 
无向图最大匹配实现：

#define MAXN 250

class GraphMaxMatch
{
private:
    int que[MAXN],queHead,queTail;
    bool g[MAXN][MAXN];
    bool inque[MAXN],inblossom[MAXN];
    int match[MAXN],pre[MAXN],S[MAXN];
    int n;

    void addQueEle(int u)
    {
        if(inque[u]) return;
        inque[u]=1;
        que[queTail++]=u;
        if(queTail==MAXN) queTail=0;
    }
    int popQueEle()
    {
        int u=que[queHead++];
        if(queHead==MAXN) queHead=0;
        return u;
    }

    int findancestor(int u,int v)
    {
        int visit[MAXN];
        memset(visit,0,sizeof(visit));
        while(1)
        {
            u=S[u];
            visit[u]=1;
            if(match[u]==-1) break;
            u=pre[match[u]];
        }
        while(1)
        {
            v=S[v];
            if(visit[v]) break;
            v=pre[match[v]];
        }
        return v;
    }
    void reset(int u,int root)
    {
        int v;
        while(u!=root)
        {
            v=match[u];
            inblossom[S[u]]=1;
            inblossom[S[v]]=1;
            v=pre[v];
            if(S[v]!=root) pre[v]=match[u];
            u=v;
        }
    }

    void contract(int u,int v)
    {
        int root=findancestor(u,v);
        memset(inblossom,0,sizeof(inblossom));
        reset(u,root); reset(v,root);
        if(S[u]!=root) pre[u]=v;
        if(S[v]!=root) pre[v]=u;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(inblossom[S[i]])
        {
            S[i]=root;
            addQueEle(i);
        }
    }

    bool BFS(int start)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=-1,inque[i]=0,S[i]=i;
        queHead=queTail=0;
        addQueEle(start);
        while(queHead!=queTail)
        {
            int u=popQueEle();

            for(int v=1;v<=n;v++) if(g[u][v]&&S[v]!=S[u]&&match[u]!=v)
            {
                if(v==start||match[v]!=-1&&pre[match[v]]!=-1)
                {
                    contract(u,v);
                }
                else if(pre[v]==-1)
                {
                    pre[v]=u;
                    if(match[v]!=-1) addQueEle(match[v]);
                    else
                    {
                        u=v;
                        while(u!=-1)
                        {
                            v=pre[u];
                            int tmp=match[v];
                            match[u]=v;
                            match[v]=u;
                            u=tmp;
                        }
                        return true;
                    }
                }
            }
        }
        return false;
    }
public:
    /**
    vertexNum: vertex number
    G[1~vertexNum][1~vertexNum]: edge relation
    */
    vector<pair<int,int> > calMaxMatch(
                int vertexNum,const bool G[MAXN][MAXN])
    {
        n=vertexNum;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++) g[i][j]=G[i][j];
        }
        memset(match,-1,sizeof(match));
        for(int i=1;i<=n;i++) if(match[i]==-1) BFS(i);

        vector<pair<int,int> > ans;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(match[i]!=-1&&match[i]>i)
            {
                ans.push_back(make_pair(i,match[i]));
            }
        }
        return ans;
    }
};