1、当$n=2$时，区间$[2,n-1]$为空，所以当$n=2$时不能证明2匹马颜色相同。
2、三根柱子ABC。假设$n$个盘子的答案为$f(n)$.最后一个盘子一定是A->C->B，所以整个过程分为5步：（1）将上面$n-1$个盘子从A->C->B,即$f(n-1)$;（2）将第$n$个盘子放到C上； （3）将B上的$n-1$个盘子通过C移动到A,即$f(n-1)$;（4）将C上的第$n$个盘子移动到B；（5）最后将A上的$n-1$个盘子移动到B，即$f(n-1)$。所以$f(n)=3f(n-1)+2, f(1)=2$,所以$f(n)=3^{n}-1$.
3、三根柱子的证明是类似的。下面只证明第一根柱子。数学归纳法：
（1）当$n=1$时，很明显，第一个柱子上出现过$2^1=2$种一个盘子的排列。
（2）假设$[1,n-1]$时，都满足情况；
（3）对于$n$ 个盘子的情况，在第二题的第一步开始到第一步结束过程中，第一根柱子上出现过$n-1$个盘子的所有排列，此时有第$n$个盘子；在第二题的第五步开始到结束，第一根柱子上仍然出现过$n-1$个盘子的所有排列，此时没有第$n$个盘子。所以所有$n$个盘子的排列都出现过。
4、数学归纳法：
（1）$n=1$时显然有$g(1) le 2^{1}-1=1$
（2）假设$[1,n-1]$个都满足
（3）对于$n$个盘子，假设它在第三根上，那么$g(n)=g(n-1)$;否则假设它在第二根柱子上，那么可以将其他的$n-1$个先移动到第一根柱子上，需要$g(n-1)$，然后将第$n$个盘子移动到第三根上，然后再把第一根柱子上的$n-1$个盘子移动到第三根上，需要$2^{n-1}-1$步，所以$g(n)=g(n-1)+1+2^{n-1}-1 le 2^{n-1}-1+1+2^{n-1}-1=2^{n}-1$
5、不能。因为两个圆最多两个交点，所以第四个圆最多跟前面的三个圆有6个交点，每个交点增加一个区域，所以最多有14个区域。
6、三条直线组成三角形，有一个封闭区域。后面第$i$条直线与前面$i-1$条有$i-1$个交点，增加$i-2$个区域，所以答案为$sum_{i=3}^{n}(i-2)=frac{(n-1)(n-2)}{2}$
7、$H(1)=J(2)-J(1)=0 e 2$
8、$Q_{2}=frac{1+eta }{alpha }$,$Q_{3}=frac{1+alpha +eta }{alpha eta }$,$Q_{4}=frac{1+alpha }{eta }$,$Q_{5}=alpha $,$Q_{6}=eta $
9、（1）将$x_{n}$带入，明显等式成立。
（2）由于$P(n)$成立，即$prod_{i=1}^{n}x_{i}leqslant (frac{sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n})^{n}$，所以有$prod_{i=n+1}^{2n}x_{i}leqslant (frac{sum_{i=n+1}^{2n}x_{i}}{n})^{n}$。将两个式子相乘得到：
$prod_{i=1}^{2n}x_{i}leqslant (frac{sum_{i=1}^{2n}x_{i}}{n}frac{sum_{i=n+1}^{2n}x_{i}}{n})^{n}$
而$xyleq (frac{x+y}{2})^2$,所以$ frac{sum_{i=1}^{2n}x_{i}}{n}frac{sum_{i=n+1}^{2n}x_{i}}{n}leq left (frac{sum_{i=1}^{2n}x_{i}}{2n} ight )^{2}$, 从而得到$P(2n)$成立
（３）$P(2)$->$P(4)$->$P(3)$->$P(6)$->...
最后关于这个不等式的证明。
设$f(x)=e^{x-1}-x$,通过求导可以看出$f(x)$在$x=1$时取得最小值０，所以$f(x)geq 0$，即$x leq e^{x-1}$
对于要证明的式子，如果$x_{i}=0$，那么显然成立。下面假设都大于０．令$a=frac{sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}>0$，那么对任意的$x_{i}$有$frac{x_{i}}{a}leq e^{frac{x_{i}}{a}-1}$ .所有式子相乘得到：$frac{prod_{i=1}^{n}x_{i}}{a^n}leq e^{sum_{i=1}^{n}frac{x_{i}}{a}-n}=e^{n-n}=1$,所以$prod_{i=1}^{n}x_{i}leq a^{n}=left ( frac{sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n} ight )^n$
10、对于一个环Ａ->B->C->A,$Q_{n}$表示A->B或者B->C或者C->A，而$R_{n}$表示A->B->C或者B->C->A或者C->A->B。
对于$Q_{n}$来说，分三步：（１）将上面$n-1$个从Ａ->B->C;（２）将第$n$个从A到B,（３）将剩下的$n-1$个从C->A->B。所以$Q_{n}=2R_{n-1}+1$
对于$R_{n}$来说，分五步：（１）将上面$n-1$个从Ｂ->C->A;（２）将第$n$个从B到C,（３）将A上的$n-1$个从Ａ->B,（４）将Ｃ上的第$n$个放到A;（５）将Ｂ上的$n-1$个从B->C->A.所以$R_{n}=R_{n-1}+1+Q_{n-1}+1+R_{n-1}=Q_{n}+Q_{n-1}+1$
11、（1）令$P_{n}$表示$2n$个圆盘从A移动到C的解.分为三步：（1）将上面的$2(n-1)$个从A挪到B，需要$P_{n-1}$;（2）将A上剩下的两个移动到C,需要两步;（3）将B上的盘子移动到C,需要$P_{n-1}$。所以$P_{n}=2P_{n-1}+2,P_{1}=2$,所以$P_{n}=2^{n+1}-2$
（2）设$Q_{n}$表示$2n$个盘子的答案，分为7步：（1）将上面$2(n-1)$个盘子移动到C,需要$P_{n-1}$;(2)第大小为$n$的上面一个盘子移动到B;(3)将C上的$2(n-1)$个盘子移动到B，需要$P_{n-1}$;(4)将最后一个盘子移动到C;(5)将B的上面$2(n-1)$个盘子移动到A,需要$P_{n-1}$;（6）将B上的剩下的一个盘子移动到C;(7)将A的$2(n-1)$个盘子移动到C,需要$P_{n-1}$,所以$Q_{n}=4P_{n-1}+3=2^{n+2}-5$
12、令$F(m)$表示移动$m$类，第$i$类个数为$n_{i}$的方案数。那么有：（1）$F(1)=n_{1}$;(2)$F(m)=2F(m-1)+n_{m}$。所以$F(m)=sum_{i=1}^{m}2^{m-i}n_{i}$
13、令$F(n)$表示$n$个Z型线的答案。$L(n)$表示$n$条直线的答案。$L(n)=frac{n(n+1)}{2}+1$.首先将一个Z型线，看作三条直线，那么此时$F(n)=L(3n)$。但是一个Z型线比三条互不平行的直线少了5个区域，所以$F(n)=L(3n)-5n=frac{9n^{2}-7n}{2}+1$
14、$L(n)$表示$n$条直线在二维平面划分的区域的答案。那么在三维空间中，第$n$次切割所增加的块的个数就是这一次切割处的面上的区域数，所以$P(n)=P(n-1)+L(n-1),P(1)=2$,所以$P(n)=frac{1}{6}(n+1)(n^{2}-n+6)$
15、首先$I(2)=2,I(3)=1$.对于$n>=4$来说，（1）如果$n$是偶数，那么第一轮将删掉2,4,6,...,n。下面重新从1开始计数，所以此时$I(n)=2I(frac{n}{2})-1$;（2）如果$n$是奇数，那么第一轮可以删掉 2,4,6,...,$n-1$,1,接下来从3开始计数，所以此时$I(n)=2I(frac{n-1}{2})+1$。也可以这样写$I(2)=2,I(3)=1,I(2n)=2I(n)-1,I(2n+1)=2I(n)+1, ngeq 2$