总述
就我现在的理解，FWT过程可以通过两种看上去不太一样的做法来实现（本质可能是一样的）。
一种在pick's blog上有介绍，是基于FFT模式和构造。
另一种可以参见2015年VFK的集训队论文，是基于推公式和DP。
总的来说，我喜欢VFK的这种套路，他对于三种基本逻辑运算（or，and，xor）都有不同的公式推导，而且感觉更可以推广；不过pick's的构造套路更加适合记忆，特别是在他的系统里，这些运算是可以统一成几乎一样的代码。
以下主要是根据VFK的论文来重点讲述集合xor的卷积。
模型的描述
我们要在较短的时间内求两个集合的对称差卷积，即
$$F_S=sumlimits_{L|U} {sumlimits_{R|U} {[A⊕B=S] imes A_L imes B_R}}$$
基于xor的FWT的过程
给出一个集合函数 (F_S) ，那么我们定义 (FWT(F)) 为求集合函数 (F'_S) 的过程，使得：
$$F'S=sumlimits{T|U} {F_T(-1)^{|S∩T|}}$$
而且，(FWT(S)^{-1})过程（即将F'还原成F）相应是这样：
$$F_S=frac{1}{2^n} sumlimits_{T|U} {F'_T(-1)^{|S∩T|}}$$
这样定义有啥好处呢？
那么我们有结论：
$$F'_S=A'_S*B'_S$$
这样，只需先将A和B逆一下，然后线性求积，再逆回来。具体证明可以参加VFK的论文。
一道很不错的UOJ例题
【题目大意】
给出 (N(N leq 10^6)) 个数字，两个人来选。每一个人各选出一个数字（ $S leq 10^6 $ ）集合（集合不能相交）。问两个人取的数字的异或和正好相等的方案数（模一个NTT质数）。
【考虑直接DP】
设 (f_{i,j}) 表示考虑到第i个数字，目前两人的异或和是j的方案数。对于 (a_{i+1}) ，如果没有人选，就是 (f_{i+1,j} leftarrow f_{i,j})，如果选，就是 $f_{i+1,j oplus a_{i+1}} leftarrow 2f_{i,j} $ （因为两个人都可以选）。这样就是简单无脑的 (S^2) 做法啦！
【用xor卷积的知识来暴力转化】
先要暴力地想，对于每一个(a_{i+1})，我们可以暴力开一个数组 (G)，满足 (G_0=1,G_{a_{i+1}}=2)，然后 (F_{i+1}=F_{i} oplus G)（上述粗体的模型）。
只是，这样太浪费了，效率也更低了。
【优化xor卷积】
本质上，我们是想快速求得 (F) 啊 (G) 啊这些函数的反演形态（因为我们是用反演形态相乘的嘛）。
根据反演的定义，我们可以知道，(G) 函数每一个位置都只有 (3) 或 (-1) 两种数值（直接带入求 (G’) 的式子里即可发现）。而且，这是由下标 (k) 和(a_{i+1}) 的 (and) 值的位数的奇偶性决定的。我们的最终目标，就是对于每一个下标 (k)，求出那么多 (G) 的这一位的乘积。
换一个想法，假设我们可以 (O(1)) 知道每一个 (G') 某一个下标位置 (i) 的数值之和，那么我们可以通过解方程来确定这个下标有多少个 (G') 是 (3)，多少个G'是 (-1)，这样也就能用快速幂来求得这一个位置的乘积了。那么如何求和呢？
我们要求的 (Sum_k) 满足 $ Sum_k=n+2*sumlimits_{i=1}^n {-1^{|a_i & k|}} $
仔细观察这个式子，这不就和反演的定义式一样吗！现在，我们只需统计 (n) 个数字中数字 (i) 出现了多少次，代入FWT过程，即可求出所有的 (Sum_k) !
至此所有的问题都解决了，效率也就是 (O(S log S))，也即是(O(2^n imes n))