今年6月15日，我在“超实线（Hyperreal line）是什么？”一文中，首次提出超实线的物理真实性问题。在那个时候，由于袖珍电子书“第1.4节斜率与速度；超实线”还没有上传，不便于引用，因而，文字叙述很简陋。
7月22日，袖珍电子书“第1.4节斜率与速度；超实线”已经上传互联网，只要搜索此标题，即可参阅原文。
当今世界著名数理逻辑学家J.Keisler在《基础微积分》第1.4节中详细分析了斜率与速度的共性问题，然后说过一段很直率的话：“.....What is needed is a sharp distinction between numbers which are small enough to be neglected and numbers which aren’t. Actually, no real number except zero is small enough to be neglected. To get around this difficulty, we take the bold step of introducing a new kind of number, which is infinitely small and yet not equal to zero.“
什么是”small enough to be neglected“（足够的小以致于可以忽略不计）？这个问题困惑了数学家三百多年，总是说不清楚。为了避开（或绕开）这个困难，数学家们迈出了非常大胆的一步：引进一类新型的数字，即”无穷小“，如同引进虚数单位”i=√-1”和无理数√2一样。现今，为了完善微积分理论体系的需要，数系又进一步扩大了。那么，新数系能否用于解决实际问题，比如，解决物理学问题？这个重要问题不能回避。
在第1.4节里面，J.Keisler，作为知名的数学家，巧妙地回答了这一问题。他说：”We have no way of knowing what a line in physical space is really like.It might be like the hyperreal line, the real line, or neither.However, in applications of the calculus it is helpful to imagine a line in physical space as a hyperreal line. The hyperreal line is,like the real line, a useful mathematical model for a line in physical space“，意思是说，...在微积分的实际应用中，我们把物理空间的直线想象成是一条超实线。这条超实线，类似实线，是物理空间直线的”a useful mathematical model“（有用的数学模型）。也就是说，超实线的真实性与实线的真实性是完全一样的。
至此，J.Keisler撰写的《基础微积分》（无穷小方法）与传统微积分就开始”分道扬镖“，走上了不同的发展道路。这两种微积分体系，使用了不同的数学模型，各有特色。但是，这两种微积分学体系，孰优孰劣？这要依据客观事实来说话。我们正在进行的”无穷小放飞互联网“计划就的目的就是要让广大学子自己来评判这个”孰优孰劣“问题。在评判过程中，增长知识，开阔眼界。在这个问题上，搞”天桥把戏“光说不练是不行的，必须一个字符，一个字符地转录原文，然后上传互联网，还要进行文字校对、修改、完善等一系列的工作环节，事务繁琐、工程浩大。我们人手少，时间又紧，只能耐心地坚持下去，直到9月1日今年新学期开学，黎明前的曙光就在前面。。