1、条件随机场的定义
条件随机场的定义：设X与Y是随机变量，P(Y|X)是给定条件X时Y的条件概率分布，此时若随机变量Y构成的是一个马尔科夫随机场，则称条件概率分布P(Y|X)是条件随机场。隐马尔科夫模型和隐马尔科夫随机场是属于生成模型，因为它们都有计算联合概率分布，而条件随机场是判别模型，其目标就是直接构建条件概率模型P(Y|X)。
首先定义一般的条件随机场模型，设X与Y是随机变量。若随机变量Y构成一个由无向图G=(V, E)表示的马尔科夫随机场。则有下面的表达式
对于上面的式子若是对所有的v都成立，则称条件概率分布P(Y|X)为条件随机场。式子中w～v表示与结点v有边连接的所有结点（也就是和结点v存在依赖关系的结点），而w≠v，则表示除了v之外的所有结点。对于一般的条件随机场来说，结点v的条件概率除了和X有关还和与之有边相连的结点有关。
再来看线性链条件随机场，在一般的条件随机场中并没有要求X和Y具有相同的结构，而在线性链条件随机场中要求X和Y具有相同的结构，具体结构如下图
设X = (X1, X2, ..., Xn)，Y = (Y1, Y2, ..., Yn)均为线性链表示的随机变量序列，若在给定随机变量序列X的条件下，随机变量序列Y的条件概率分布P(Y|X)构成条件随机场，即满足马尔科夫性，则表达式如下
从上面的表达式可以看到，当前的结点只与前后相邻的两个结点有关。Y的无向图模型G可以表示为
对于线性链条件随机场通常的应用就是词性标注，将随机变量X看作是观测序列（即观察到的句子），Y看作是标注序列（句子的词性序列）
2、线性链条件随机场的参数形式
对于随机变量X和Y，线性链条件随机场的参数形式如下
其中规范场因子Z
在表达式中的tk、sl 是特征函数（tk 是定义在边上的特征函数，称为转移特征，依赖与当前和前一个位置；sl 是定义在结点上的特征函数，称为状态特征，依赖于当前的位置）。
在这里函数
sl(yi, x, i)，l = 1, 2, ..., L
其中L是定义在该节点的节点特征函数的总个数，i是当前节点在序列的位置。
函数
tk(yi-1, yi, x, i)，k = 1, 2, ..., K
其中K是定义在该节点的局部特征函数的总个数，i是当前节点在序列的位置。
无论是节点特征函数还是局部特征函数，它们的取值只能是0或者1。即满足特征条件或者不满足特征条件。同时，我们可以为每个特征函数赋予一个权值，用以表达我们对这个特征函数的信任度。假设tk的权重系数是λk, sl的权重系数是μl，则linear-CRF由我们所有的tk, λk, sl, μl共同决定。
考虑到上面的式子中同一特征（tk、sl）在各个位置（i）都有定义，可以对同一个特征在各个位置求和，将局部特征函数转化为一个全局的特征函数。简化线性链条件随机场的表达形式，这样就可以用权值向量和特征向量的內积来表示线性链条件随机场。
首先将状态特征和转移特征及其权重用同一的符号表示，设有K1个转移特征，K2个状态特征，令K = K1 + K2，则有
然后对各个位置上的同一特征求和
用wk表示特征fk(y, x)的权值
于是，条件随机场的表达形式可以写成
再做进一步简化，令
则条件随机场可以写成w与F(y, x)的內积形式
除了用向量的內积来表示之外，还可以用矩阵的形式来表示
首先对标记序列引入特殊的起点和终点的标记y0 = start，yn+1 = stop（该引进主要是为了让y1和yn能和其他的点以同样的形式表述）。引入一个m × m的矩阵M（x的每一个位置i = 1, 2, ..., n+1上都有这样一个矩阵），m为y所有可能的状态的取值个数。则M的定义如下
则具体的线性链条件随机常表达式如下
3、条件随机场的概率计算问题
线性链条件随机场的概率计算问题：即给定线性链条件随机场的条件概率分布P(y|x), 在给定输入序列x和输出序列y时，计算条件概率P(yi|x)和P(yi−1，yi|x)以及对应的期望。在这里我们采用前向-后向算法来处理该类问题。引入前向向量和后向向量，具体表达式如下
前向向量表达式αi(x)，i = 0, 1, .., n+1：
αi(yi|x)表示在位置i的标记是yi并且到位置i的前部分标记序列的非规范化概率，yi可取的值有m个，所以αi(x)是m维列向量，可以表示为
后向向量表达式βi(x)，i = 0, 1, .., n+1：
βi(yi|x)表示在位置i的标记是yi并从i+1到n的后部分标记序列的非规范化概率，yi可取的值有m个，所以βi(x)是m维列向量，可以表示为
基于给定的前向向量和后向向量我们就可以处理开头的三个解答，首先是在位置i是标记yi的条件概率和在位置i-1与i是标记yi-1和yi的条件概率：
计算联合分布P(x,y)与条件分布P(y|x)的期望
特征函数fk(x,y)关于条件分布P(y|x)的期望表达式是：
联合分布P(x,y)的期望
整体来说，线性链条件随机场的前向-后向算法还是比HMM中的算法要来的简单
4、线性链条件随机常的学习算法
条件随机场的学习算法比HMM要简单很多，因为是判别模型，可以直接用梯度下降法或者拟牛顿法来求解
给定训练数据集，由训练数据集可知经验概率分布
通过极大化训练数据的对数似然函数来求模型参数，对数似然函数表达式如下
当将Pw(y|x)用向量內积的形式展开，可以将损失函数可以写成
现在我们就可以极小化f(w)，梯度表达式如下
通过梯度下降法来更新w的值，但注意在每次更新w后都要计算当前的Pw(y|x)，因为该值会出现在梯度表达式中，计算当前的Pw(y|x)是用于求下一次迭代的梯度的。
5、线性链条件随机场的预测算法
预测算法的问题：给定条件随机场的条件概率P(y|x)和一个观测序列x，要求出满足P(y|x)最大的序列y*。解决这类解码问题通常用的算法都是维特比算法。在该类问题中我们的目标是
在这里我们只要求非规范化概率就可以了（因为只是求最大值，并不需要具体的概率值，这样可以大大提高计算效率）。我们将上面的式子表示成
接下来通过维特比算法去求出序列y*，首先求出位置1的各个标记j = 1, 2, ..., m的非规范化概率：
求出对应于位置i的各个标记l = 1, 2, ..., m的非规范化概率的最大值（该值的结果是依赖于之前的所有位置的，并且用于计算的值都是之前求好的，动态规划思想），同时记录非规范化概率最大值的路径
当i = n时，求得非规范化概率的最大值
先获取最优路径的终点
接着回溯，寻找每个位置的最优序列点
当i = 1时，就可以求得最优路径
6、总结
线性链条件随机场和HMM有很多类似的地方（也只局限于线性链条件随机场，而一般的条件随机场的应用范围是要远大于HMM的），比如都有三个基本问题：预测问题、学习问题、概率问题。除了学习问题（主要是因为求解的结果不一样，线性链条件随机场是判别模型，而HMM是生成模型，因此线性链条件随机场求的是条件概率分布，而HMM求得是联合概率分布），其余的两个问题处理的思路都非常相似。而且两者都可以用在序列模型上，在自然语言处理中都有广泛的使用。