51nod 最长单增子序列（动态规划）

最长单增子序列

(LIS Longest Increasing Subsequence)给定一个数列，从中删掉任意若干项剩余的序列叫做它的一个子序列，求它的最长的子序列，满足子序列中的元素是单调递增的。

输入

第1行：1个数N，N为序列的长度(2 <= N <= 50000)
第2 - N + 1行：每行1个数，对应序列的元素(-10^9 <= S[i] <= 10^9)

输出

 

输出最长递增子序列的长度。

 

输入示例

8
5
1
6
8
2
4
5
10

输出示例

5

 

请选取你熟悉的语言，并在下面的代码框中完成你的程序，注意数据范围，最终结果会造成Int32溢出，这样会输出错误的答案。

不同语言如何处理输入输出，请查看下面的语言说明。

【分析】

我们现在简单讲一下一个O(nlogn)的算法。我们假象一下dp[i][j]表示前i项时构成长度为j的单调子序列的话，最后一项最小的时候是多少。

如果没有长度为j的单调子序列，则设置为+∞。

我们证明dp[i]， 随着j的增长单调递增（不考虑无穷大的时候）

初值dp[0][0] = -∞表示长度为0的单调子序列可以达到无穷小。显然dp[0]只有一项值，它是单调递增的。假设dp[i – 1]是单调递增的：

即 dp[i – 1][0] < dp[i – 1][1] < dp[i – 1][2] < dp[i – 1][3] <..<dp[i – 1][x] 
其实我们可以加一项dp[i – 1][x + 1] = +∞

所以 ：

dp[i – 1][0] < dp[i – 1][1] < dp[i – 1][2] < dp[i – 1][3] <..<dp[i – 1][x]  < dp[i – 1][x + 1] 

我 们考虑a[i]这一项有什么用。我们需要找到dp[i – 1][y] < a[i]把它接到长度为y的子序列后面，形成一个长度为y + 1的子序列。如果dp[i – 1][y + 1] < a[i], 这说明不属于a[i]这一项，我们考虑前个数也可以形成长度为y + 1的单增子序列，且最后一项更小，所以我们不应该更新它。事实上我们需要找到dp[i – 1][y] < a[i]  && dp[i – 1][y + 1] >= a[i]， 这样把a[i]接在长度为y的子序列后面形成一个长度为(y + 1)的子序列，同时结尾更小。
于是我们有递推关系：

dp[i][0..y] = dp[i – 1][0..y]
dp[i][y + 1] = a[i]
dp[i][y + 2..] = dp[i – 1][y + 2…]

实际上我就更新了一个值，而更新的这个值的递推式，也同时证明了这个序列的单调性。

y的存在性，由于我们添加了 -∞和+∞,我们一定能找到满足上述条件的y值。而且根据单调性，我们可以利用二分查找的方法找到这个临界的y值。注意最后找到的y有可能就等于x，然后我们更新的时候，会更新dp[x + 1] = a[i],这样子序列的长度增长了1。

因为每次只更新一个值，我们dp数组只存第二维就可以了。最终的结果，其实是max {x| dp[x] < +∞}的x。
时间复杂度，二分是O(logn)，所以总时间复杂度是O(nlogn)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <time.h>
#include <string>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
int n,a[50005],d[50005],i,j,len;
int binsearch(int x)
{
    int l = 1, r = len, mid;
    while (l <= r)
    {
        mid = (l + r) >> 1;
        if (d[mid-1] <= x && x < d[mid]) return mid;
        else if (x > d[mid]) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
}
int main()
{
    scanf ("%d", &n);
    for (i = 1; i<= n; i++)
        scanf ("%d", &a[i]);
    memset (d, 0, sizeof (d));
    d[1] = a[1];
    len = 1;
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (a[i] < d[1]) j = 1;
        else if (a[i] > d[len]) j = ++len;
        else j = binsearch (a[i]);
        d[j] = a[i];
    }
    printf ("%d
", len);
    return 0;
}

下面的代码只能过四分之一的数据，因为超时。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <time.h>
#include <string>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
int main()
{
    int n,len,i,j,dp[50001];
    int a[50005];
    cin>>n;
    for(i=0; i<n; i++)cin>>a[i];
    int maxn=1;dp[0]=1;
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(int j=0; j<i; j++)
        {
            if(a[i]>a[j])
            {
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        maxn=max(maxn,dp[i]);
    }
    cout<<maxn<<endl;
    return 0;
}