约瑟夫环相关问题的解法

约瑟夫环

问题来源

       据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

例如 10 个人，每报数到第3人自杀，求最后活下来的人。

所以最终活下的是第4位和第10位

Java代码(链表)：

import java.util.*;

public class YueSeFuHuan {
	public static Integer[] live(int count, int k) {
		// count 指人数, 每报数到第 k 人自杀
		// livearr 存放最后活下来的人, 作为返回值。数组长度选取 k-1 和 count 较小的值即可
		Integer livearr[] = new Integer[Math.min(count, k-1)];
		// 如果 count 小于 k, 这 count 都可以存活
		if(count < k) {
			int index = 0;
			while(index < count) 
				livearr[index++] = index;
			return livearr;
		}
		
		// 使用链表，删除速度更快
		LinkedList<Integer> people = new LinkedList<Integer>();
		// 使用数组也可以(将上一行注释，下一行去注释即可)
		// List<Integer> people = new ArrayList<Integer>();
		
		// 初始化链表
		for(int i = 0;i < count;i++) 
			people.add(i+1);    
		// point 指向链表元素,  number 指报数
		int point = 0, number = 0; 
		// 只留下 k-1 个人
		while(people.size() >= k) {
			number++;
			// 如果 point 到了链表末尾, 再返回指向链表开头(因为是环)
			if(point >= people.size())
				point = 0;
			// 如果报数到第 k 人，则从链表中删除(自杀)
			// 如果是 number == 3 , 需要把 number = 0 (重置0)，此处取余可以避免重置0
			if(number%k == 0) 
				people.remove(point);
			// 继续指向链表下一元素
			else
				point++;
		}
		// 将 people 转化为数组返回
		return people.toArray(livearr);
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		int count = 10, k = 3;
		Integer [] livepeople = live(count, k);
		for(int i = 0;i < livepeople.length;i++) 
			System.out.print(livepeople[i] + "  ");
	}

}
/*
 * Code Running Results
 * 4  10
 */

Java代码(数组)：

import java.util.*;

public class YueSeFuHuanTwo {
	public static Integer[] live(int count, int k) {
		// count 指人数, 每报数到第 k 人自杀
		// livearr 存放最后活下来的人, 作为返回值。数组长度选取 k-1 和 count 较小的值即可
		Integer livearr[] = new Integer[Math.min(count, k-1)];
		// 如果 count 小于 k, 这 count 都可以存活
		if(count < k) {
			int index = 0;
			while(index < count) 
				livearr[index++] = index;
			return livearr;
		}
		
		 // 使用数组
		 List<Integer> people = new ArrayList<Integer>();
		// 初始化数组
		for(int i = 0;i < count;i++) 
			people.add(i+1);    
		
		// point 指向数组元素,  number 指报数
		int point = 0, number = 0; 
		// count-k+1 表示需要自杀人数
		for(int i = 1;i <= count-k+1;) {
			// 如果 point 到了数组末尾, 再返回指向数组开头(因为是环)
			if(point >= people.size())
				point = 0;
			// 如果此人已自杀, 继续指向数组下一元素
			if(people.get(point) < 0)
				point++;
			else { // 否则此人活着
				number++;
				// 如果报数到第 k 人，则从数组中设置为 -1 (代表自杀)
				if(number%k == 0) {
					// 用 -1 来标记自杀的人
					people.set(point, -1);
					i++;         // 自杀人数加一
				// 否则继续指向数组下一元素
				} else 
					point++;     
				
			}
		}
		
		int index = 0;
		for(int i = 0;i < people.size();i++) 
			// 存活的放在数组
			if(people.get(i) > 0)
				livearr[index++] = people.get(i);
		
		return livearr;
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		int count = 10, k = 3;
		Integer [] livepeople = live(count, k);
		for(int i = 0;i < livepeople.length;i++) 
			System.out.print(livepeople[i] + "  ");
	}

}
/*
 * Code Running Results
 * 4  10
 */

Java代码(队列)：

import java.util.*;

public class YueSeFuHuanThree  {
	public static Integer[] live(int count, int k) {
		// count 指人数, 每报数到第 k 人自杀
		// livearr 存放最后活下来的人, 作为返回值。数组长度选取 k-1 和 count 较小的值即可
		Integer livearr[] = new Integer[Math.min(count, k-1)];
		// 如果 count 小于 k, 这 count 都可以存活
		if(count < k) {
			int index = 0;
			while(index < count) 
				livearr[index++] = index;
			return livearr;
		}
		// 使用队列
		Queue<Integer> people = new LinkedList<Integer>();
		// 初始化队列
		for(int i = 0;i < count;i++) 
			people.add(i+1);
		
		// number 指报数
		int number = 0; 
		// 只留下 k-1 个人
		while(people.size() >= k) {
			number++;
			Integer item = people.remove(); // 出队
			// 如果此人不需要自杀, 再入队
			if(number%k != 0) 
				people.add(item);
		}
		
		int index = 0;
		while(!people.isEmpty()) {
			livearr[index++] = people.remove();
		}
		return livearr;
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		int count = 10, k = 3;
		Integer [] livepeople = live(count, k);
		for(int i = 0;i < livepeople.length;i++) 
			System.out.print(livepeople[i] + "  ");
	}

}
/*
 * Code Running Results
 * 4  10
 */

另一种问题，只剩下一个人。
上面我们讲的是每到第K个删除，如果count大于等于k的话，最终会留下k-1个。现在无论多少个，最后只留下1个，就是说如果数量小于k个的时候我们继续循环删除，直到留下最后一个的为止。
例如 n 个人，每报到 k 的人自杀(这里从 0 开始)

Java代码(递归)：

public class YueSeFuHuanFour {
	public static int live(int n, int k) {
		// 由于从 0 开始，所以结果加一
	    return fun(n, k) + 1;
	}
	public static int fun(int n, int k) {
		// 只有一个人时返回 0
	    if (n == 1)
	        return 0;
	    return (fun(n - 1, k) + k) % n;
	}
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println(live(10, 3));
	}

}
/* Code Running Results:
 * 4
 */

Java代码(循环)

public class YueSeFuHuanFive {
	public static int live(int n, int k) {
		// 只有一个人时返回 0
		int result = 0;
		// 从又二个人开始执行循环
		for(int i = 2;i <= n;i++) 
			result = (result+k) % i;
		// 由于从 0 开始，所以结果加一
		return result+1;  
	}
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println(live(10, 3));
	}

}
/* Code Running Results:
 * 4
 */

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