计算几何 学习笔记

其他

• $/pi$的值

  1 const double pi = acos(-1.0);

• 精度判断

  #define eps 1e-8
  //大于0返回1，小于返回-1，等于返回0
  double pd(double x){
      if(abs(x)<=eps) return 0;
      if(x>0) return 1;
      return -1;
  }

向量和点

存储

• 可以用(x,y)存储向量和点

struct Point
{
    double x, y;
    Point () {}
    Point (double x, double y) : x(x), y(y) {}
};
typedef Point Vector;

运算（二维）

• 加法：$vec{v1}+vec{v2}=(x1+x2,y1+y2)$
• 减法：$vec{v1}-vec{v2}=(x1-x2,y1-y2)$
• 内积（点积） $vec{v1} cdot vec{v2} = |v1||v2| cos<v1,v2> =x1x2+y1y2$ 可用来判垂直（=0）或判夹角是锐角(>0)还是钝角(<0)
• 外积（叉积）$vec{v1} imes vec{v2} = |v1||v2| sin<v1,v2> = x1y2-x2y1$ 
• 叉积的用处：通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系：如果$vec{v1} imes vec{v2}$为正，则$vec{v1}$逆时针旋转可遇到$vec{v2}$。如果为0则共线，可能同向或反向                  另一个用处就是叉积的值是面积

直线

直线的存储

• 为了方便计算通常是用四个double来存储（用一个点和一个向量来表示）（以下点为(x,y),向量为(x1,y1)，$vec{v}$ ）

点到直线的距离

• 设点为(x0,y0)，向量$vec{v0}=(x-x0,y-y0)$，则距离：$frac{vec{v} imes vec{v0} }{ |vec{v}| }$

点是否在直线上

• 距离为0就在直线上，，，

直线的交点

• 设交点为（x,y），直线1点为(x1,y1),向量为(x2,y2)。 直线2点为(x3,y3),向量为(x4,y4)。
• 列得方程 (x-x1)y2=(y-y1)x2  (x-x3)y4=(y-y3)x4

线段

是否相交

• 线段为p1,q1和p2,q2。则若$(p1-q1) imes (p1-q2) * (p1-q1) imes (p1-p2) <0 $ 并且 $ (p2-q2) imes (p2-q1) * (p2-q2) imes (p2-p1) <0 $则相交

多边形

点在多边形内还是多边形外

• 设多边形是由n个点给出（顺时针或者逆时针）
• 角度和判别法，如果在内，则角度和为360，否则不在（好写，但有精度问题）
• 以该点作一条无限长的直线，看穿过多边形几次（很多特殊情况要考虑）

多边形面积

• 用多边形里面的一个点把多边形分成n个三角形，用叉积求面积，全部加起来即可（非凸多边形也可，叉积有正负）