HDU 5833 （2016大学生网络预选赛） Zhu and 772002（高斯消元求齐次方程的秩）

　　网络预选赛的题目……比赛的时候没有做上，确实是没啥思路，只知道肯定是整数分解，然后乘起来素数的幂肯定是偶数，然后就不知道该怎么办了…

　　最后题目要求输出方案数，首先根据题目应该能写出如下齐次方程（从别人那里盗的……）：

　　a_11*x_{1  ^}  a_12*x_2  ^  ...  ^  a_1n*x_n=0

　　a_21*x_1  ^  a_22*x_2  ^  ...  ^  a_2n*x_n=0

　　...

　　a_n1*x_1  ^  a_n2*x_2  ^  ...  ^  a_nn*x_n=0，Aij表示选的第j个数的第i个质数（可能有些人跟我有一样的疑问，为什么不是第i个数的第j个质数呢，这是为了方便消元计算），xi为1或者0，代表数选和不选。

　　所以这个问题就化成了该方程有几个解的问题，该方程的特征矩阵有303行，n列，因为1-2000之间一共有303个素数，实际可以省略用不到的那些。

　　然后，学过线性代数的童鞋都知道，当它的特征矩阵的秩是n的时候，该方程有唯一解，就是0解，所以当时我们求出秩来以后，如果秩是r且r < n,也就意味着有n-r个0行，同时意味着，它与其它行线性相关，也就是这一行不影响答案，有选和不选两种情况，一共就有2的（n-r）次方 种情况，求秩的方法用高斯消元的模板，类比成异或就可以了，当时我还自己写了一个消元的函数，发现不对……还是贴的人家的模板。

　　代码及注释如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 305
#define mod 1000000007
LL a[N];
int prime[N],tot,n,m;
int fenjie[N][N],zhuan[N][N];
bool yes(int x)
{
    for(int i = 2; i*i <= x; i++)
    {
        if(x%i == 0) return false;
    }
    return true;
}
void Make_P()///暴力版素数表，实在懒得改……
{
    tot = 0;
    for(int i = 2; i <= 2000; i++)
    {
        if(yes(i)) prime[tot++] = i;
    }
}
void FenJie()///质因数分解
{
    memset(fenjie,0,sizeof(fenjie));
    m = -99;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        LL tmp = a[i];
        for(int j = 0; j < tot; j++)
        {
            while(tmp % prime[j]==0)
            {
                fenjie[j][i]++;
                tmp /= prime[j];
                m = max(m,j);///取一个最大的j值即可
            }
            fenjie[j][i] %= 2;
            if(tmp == 1) break;
        }
    }
    m++;
}
int Rank()///高斯消元求秩[j][i]的形式派上了用场
{
    int i=0,j=0,k,r,u;
    while(i < m && j < n)
    {
        r = i;
        for(k=i; k<m; k++)
        {
            if(fenjie[k][j])
            {
                r=k;
                break;
            }
        }
        if(fenjie[r][j])
        {
            if(r != i)
                for(k=0; k <= n; k++)swap(fenjie[r][k],fenjie[i][k]);
            for(u=i+1; u<m; u++)
                if(fenjie[u][j])
                    for(k=i; k<=n; k++)
                        fenjie[u][k]^=fenjie[i][k];
            i++;
        }
        j++;
    }
    return i;
}

int mypow(int x,int y)
{
    int res = 1;
    for(int i = 1; i <= y; i++)
    {
        res = ((x%mod)*(res%mod)) % mod;
    }
    return res;
}
int Slove()
{
    int mi = n-Rank();
    return (mypow(2,mi) - 1) % mod;
}
int main()
{
//    freopen("in1.cpp","r",stdin);
    int t,ca=0;
    Make_P();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            cin>>a[i];
        }
        FenJie();
        printf("Case #%d:
",++ca);
        cout<<Slove()<<endl;
    }
    return 0;
}