梯度下降算法及优化方法

序言

      对于y=f(wx+b),如何使用神经网络来进行求解，也就是给定x和y的值，如何让系统自动生成正确的权重值w和b呢？

      一般情况下，有两种尝试方法：

      1） 随机试：纯概率问题，几乎不可能实现。

      2） 梯度下降法：先初始化w和b(可以随机设置，也可以人为默认)，然后使用下降算法来对w和b进行更新。都有哪些方法？到底哪种方法更好？

目录

一、基础知识

二、SGD

三、Momentum

四、Adagrad

五、Adadelta

六、RMSProp

七、Adam

正文

一、基础知识

斜率：在一维空间上，斜率就是函数的导数；

梯度：在多维空间里，函数的导数叫梯度，梯度是偏导数组成的向量；

梯度指向函数增加最快的方向，相应地，负梯度就指向函数下降最快的方向；推导方法可以参考该链接：https://blog.csdn.net/itplus/article/details/9337515

二、SGD

一般情况下，SGD指Mini-batch GD，（GD可分为三种：Batch GD，Stochastic GD，mini-batch GD）

SGD就是每次迭代计算mini-batch的梯度，然后对参数进行更新：

1）gt=∇θt−1f(θt−1)

2）Δθt=−η∗gt

其中，η是学习率，gt是梯度

SGD完全依赖于当前batch的梯度，η可理解为允许当前batch的梯度多大程度影响参数更新。

劣势：

       1、学习率LR选择比较困难

       2、对所有参数都使用相同的LR：在数据不均衡的情况下，如稀疏特征希望更新快些，常出现特征出现慢些时，SGD不太满足要求。

       3、容易收敛到局部最优，有可能被困于鞍点

 

 三、Momentum

积累之前的动量来替代梯度

1）mt=μ∗mt−1+gt

2）Δθt=−η∗mt

其中，μ是动量因子

梯度下降前期：使用上一次参数来更新，下降方向一致，乘上较大的μ能够进行很好的加速

梯度下降后期，在局部最小值来回震荡的时候，gradient→0，μ使得更新幅度增大，跳出陷阱

梯度方向改变时，μ能够减少更新

结论：momentum项能够加速SGD，抑制振荡，从而加快收敛

四、Adagrad

对学习率进行了约束：

nt=nt−1+gt2

Δθt=−η/(√nt+ϵ)∗gt

此处，对gt从11到tt进行一个递推形成一个约束项regularizer:−1/√(∑r=1t(gr)2+ϵ) ，ϵ用来保证分母非0
特点：

前期gt较小的时候， regularizer较大，能够放大梯度
后期gt较大的时候，regularizer较小，能够约束梯度
适合处理稀疏梯度
缺点：

由公式可以看出，仍依赖于人工设置一个全局学习率
η设置过大的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太大
中后期，分母上梯度平方的累加将会越来越大，使gradient→0，使得训练提前结束

五、Adadelta

   对Adagrad的扩展，也是对学习率进行自适应约束，但对计算进行了简化。

Adagrad会累加之前所有的梯度平方，而Adadelta只累加固定大小的项，并且也不直接存储这些项，仅仅是近似计算对应的平均值。即： 

1) nt=ν∗nt−1+(1−ν)∗gt^2

2) Δθt=−η/(√(nt+ϵ))∗gt

Adadelta依是依赖于全局学习率，但是经过近似牛顿迭代法：

3) E|g^2|t=ρ∗E|g^2|t−1+(1−ρ)∗gt^2

4) Δxt=−∑r=1,t-1(Δxr)/√(E|g^2|t+ϵ)     其中E代表期望，Adadelta已经不用依赖于全局学习率

特点：

训练初中期，加速效果不错，很快

训练后期，反复在局部最小值附近抖动

六、RMSprop

RMSprop算Adadelta一个特例

当ρ=0.5时，E|g^2|t=ρ∗E|g^2|t−1+(1−ρ)∗gt^2就变为了求梯度平方和的平均数。
如果再求根的话，就变成了RMS(均方根)：
RMS|g|t=√(E|g^2|t+ϵ)

此时，这个RMS就可以作为学习率ηη的一个约束：
Δxt=−η/(RMS|g|t)∗gt
特点：

其实RMSprop依然依赖于全局学习率
RMSprop算是Adagrad的一种发展，和Adadelta的变体，效果趋于二者之间
适合处理非平稳目标
对于RNN效果很好

七、Adam
Adam(Adaptive Moment Estimation)本质上是带有动量项的RMSprop，它利用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计动态调整每个参数的学习率。Adam的优点主要在于经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有个确定范围，使得参数比较平稳。公式如下：
mt=μ∗mt−1+(1−μ)∗gt

nt=ν∗nt−1+（1−ν）∗gt^2

mt^=mt/(1−μt)

nt^=nt/(1−νt)

Δθt=−mt^/√(nt^+ϵ)∗η

其中，mtmt，ntnt分别是对梯度的一阶矩估计和二阶矩估计，可以看作对期望E|gt|，E|gt^2|的估计,mt^，nt^是对mt，nt的校正，这样可以近似为对期望的无偏估计。
可以看出，直接对梯度的矩估计对内存没有额外的要求，而且可以根据梯度进行动态调整，而−mt^/(nt^+ϵ)对学习率形成一个动态约束，而且有明确的范围。
特点：

结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点
对内存需求较小
为不同的参数计算不同的自适应学习率
也适用于大多非凸优化
适用于大数据集和高维空间