KMP算法解析

今天来说说这个难以理解的kmp算法。之前写过一个模板，一直去套用，实在愧对算法二字，今天悟一下。

kmp算法完成的任务是：给定两个字符串O和f，长度分别为n和m，判断f是否在O中出现，如果出现则返回出现的位置。常规方法是遍历a的每一个位置，然后从该位置开始和b进行匹配，但是这种方法的复杂度是O(nm)。kmp算法通过一个O(m)的预处理，使匹配的复杂度降为O(n+m)。

kmp算法思想

我们首先用一个图来描述kmp算法的思想。在字符串O中寻找f，当匹配到位置i时两个字符串不相等，这时我们需要将字符串f向前移动。常规方法是每次向前移动一位，但是它没有考虑前i-1位已经比较过这个事实，所以效率不高。事实上，如果我们提前计算某些信息，就有可能一次前移多位。假设我们根据已经获得的信息知道可以前移k位，我们分析移位前后的f有什么特点。我们可以得到如下的结论：

• A段字符串是f的一个前缀。
• B段字符串是f的一个后缀。
• A段字符串和B段字符串相等。

所以前移k位之后，可以继续比较位置i的前提是f的前i-1个位置满足：长度为i-k-1的前缀A和后缀B相同。只有这样，我们才可以前移k位后从新的位置继续比较。

所以kmp算法的核心即是计算字符串f每一个位置之前的字符串的前缀和后缀公共部分的最大长度（不包括字符串本身，否则最大长度始终是字符串本身）。获得f每一个位置的最大公共长度之后，就可以利用该最大公共长度快速和字符串O比较。当每次比较到两个字符串的字符不同时，我们就可以根据最大公共长度将字符串f向前移动(已匹配长度-最大公共长度)位，接着继续比较下一个位置。事实上，字符串f的前移只是概念上的前移，只要我们在比较的时候从最大公共长度之后比较f和O即可达到字符串f前移的目的。

next数组计算

理解了kmp算法的基本原理，下一步就是要获得字符串f的每一个以首字母开头的子串的前后缀最大公共部分长度。我们记为next数组。在这里要注意一点，next数组表示的是长度，下标从1开始；但是在遍历原字符串时，下标还是从0开始。next[i]表示的是前i个字符的最大公共前后缀长度。假设我们现在已经求得next[1]、next[2]、……next[i]，分别表示长度为1到i的字符串的前缀和后缀最大公共长度，现在要求next[i+1]。由上图我们可以看到，如果位置i和位置next[i]处的两个字符相同（下标从零开始），则next[i+1]等于next[i]加1。如果两个位置的字符不相同，我们可以将长度为next[i]的字符串继续分割，获得其最大公共长度next[next[i]]，然后再和位置i的字符比较。这是因为长度为next[i]前缀和后缀都可以分割成上部的构造，如果位置next[next[i]]和位置i的字符相同，则next[i+1]就等于next[next[i]]加1。如果不相等，就可以继续分割长度为next[next[i]]的字符串，直到字符串长度为0为止。

见代码：

void get_next(){
    next[0]=-1;
    next[1]=0;
    for(int i=1;i<len;i++){
        int j=next[i];
        while(1){
            if(t[i]==t[j]){
                next[i+1]=j+1;
                break;
            }else{
                j=next[j];
            }
            if(j<0){
                next[i+1]=0;
                break;
            }
        }
    }
}

字符串匹配

计算完成next数组之后，我们就可以利用next数组在字符串O中寻找字符串f的出现位置。匹配的代码和求next数组的代码非常相似，因为匹配的过程和求next数组的过程其实是一样的。假设现在字符串f的前i个位置都和从某个位置开始的字符串O匹配，现在比较第i+1个位置。如果第i+1个位置相同，接着比较第i+2个位置；如果第i+1个位置不同，则出现不匹配，我们依旧要将长度为i的字符串分割，获得其最大公共长度next[i]，然后从next[i]继续比较两个字符串。

见代码：

int kmp(){
    int i=0,j=0;
    while(i<ls&&j<len){
        if(j<0||s[i]==t[j])  ++i,++j;
        else    j=next[j];
    }
    if(j==len)  return i-j+1;
    else    return -1;
}

故而最后完整的代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;

char s[100],t[100];
int next[50],len,ls;

void get_next();
int kmp();

int main(){
    //freopen("D:\input.in","r",stdin);
    scanf("%s%s",s,t);
    ls=strlen(s);
    len=strlen(t);
    get_next();
    cout<<kmp()<<endl;
    return 0;
}
void get_next(){
    next[0]=-1;
    next[1]=0;
    for(int i=1;i<len;i++){
        int j=next[i];
        while(1){
            if(t[i]==t[j]){
                next[i+1]=j+1;
                break;
            }else{
                j=next[j];
            }
            if(j<0){
                next[i+1]=0;
                break;
            }
        }
    }
}
int kmp(){
    int i=0,j=0;
    while(i<ls&&j<len){
        if(j<0||s[i]==t[j])  ++i,++j;
        else    j=next[j];
    }
    if(j==len)  return i-j+1;
    else    return -1;
}