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  • [网络流24题] 最长不下降子序列问题(最大流)

    题目链接
    这个题目有三个要求出来的

    1. 计算其最长不下降子序列的长度s。
    2. 计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列
    3. 如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn,则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列

    自己的想法
    对于 问题1 直接用那个动态规划去跑下,就求出答案 len 了,这是会用到一个 dp[] 数组, 这是有用的

    对于 问题2 容易想到的新加一个源点s和汇点t,如果dp[i] = 1 就连一条 s -> i 的边, dp[i] = len 就连一条 i -> t 的边, 再对于任意i ,j 如果 a[i]>=a[j] && dp[j]+1==dp[i], 就在连一条边, 这些边的容量都为1

    对于 问题3 就直接依照要求, 加连一条 s -> 1 的边, 当dp[n] == ans 时, 加连一条 n -> t 的边, 容量为无穷大

    但这样做的话,当数组只有一个数时, 第三问,要特判下才能过了
    只能靠特判才能A题啊

    #include <bits/stdc++.h>
    const int maxn = 505;
    const int inf = 0x3f3f3f3f;
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    
    struct note
    {
        int u, v, w;
        int next;
    } e[maxn * maxn * 2];
    int head[maxn], cnt;
    int n, s, t;
    int dp[maxn], a[maxn], ans;
    
    void add(int u, int v, int w)
    {
        e[cnt] = (note){u, v, w, head[u]};
        head[u] = cnt++;
        e[cnt] = (note){v, u, 0, head[v]};
        head[v] = cnt++;
    }
    
    int level[maxn];
    bool bfs()
    {
        memset(level, -1, sizeof(level));
        level[s] = 1;
        queue<int> q;
        q.push(s);
        while (!q.empty())
        {
            int u = q.front();
            q.pop();
            for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next)
            {
                int v = e[i].v;
                if (e[i].w > 0 && level[v] == -1)
                {
                    level[v] = level[u] + 1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        return level[t] != -1;
    }
    
    int dfs(int u, int delta)
    {
        if (u == t)
            return delta;
        int flow = 0;
        for (int i = head[u]; ~i; i = e[i].next)
        {
            int v = e[i].v;
            if (e[i].w > 0 && level[u] + 1 == level[v])
            {
                int tmp = dfs(v, min(delta - flow, e[i].w));
                e[i].w -= tmp;
                e[i ^ 1].w += tmp;
                flow += tmp;
            }
        }
        if (flow == 0)
            level[u] = inf;
        return flow;
    }
    
    int Dinic()
    {
        int maxflow = 0, tmp;
        while (bfs())
        {
            while (tmp = dfs(s, inf))
                maxflow += tmp;
        }
        return maxflow;
    }
    
    int main()
    {
        scanf("%d", &n);
        s = 0, t = n + 1;
        ans = 1;
        memset(head, -1, sizeof(head));
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            dp[i] = 1;
            for (int j = 1; j < i; j++)
            {
                if (a[i] >= a[j])
                {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                    ans = max(dp[i], ans);
                }
            }
        }
        printf("%d
    ", ans);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (dp[i] == 1)
                add(s, i, 1); //s ---> i
            if (dp[i] == ans)
                add(i, t, 1); //i ---> t
            for (int j = 1; j < i; j++)
            {
                if (a[i] >= a[j] && dp[j] + 1 == dp[i])
                {
                    add(j, i, 1); // j -- > i
                }
            }
        }
        int res = Dinic();
        printf("%d
    ", res);
        add(s, 1, inf); //添加
        if (dp[n] == ans)
            add(n, t, inf); //添加边
        if (ans == 1)
            printf("%d
    ", res);
        else
        {
            res += Dinic();
            printf("%d
    ", res);
        }
        return 0;
    }
    
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