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https://www.acwing.com/problem/content/1314/
Description
给定三个正整数 (N,L,R)，统计长度在 1 到 N 之间，元素大小都在 L 到 R 之间的单调不降序列的数量。
输出答案对 (10^6+3) 取模的结果。
Input
输入第一行包含一个整数 T，表示数据组数。
第二到第 T+1 行每行包含三个整数 N,L,R。
Output
输出包含 T 行，每行有一个数字，表示你所求出的答案对 (10^6+3) 取模的结果。
Sample Input
2
1 4 5
2 4 5
Sample Output
2
5
Hint
对于第一组输入，满足条件的两个序列为 {4},{5}。
题解
有两种做法，但都用到了映射的思想。
解法1
设序列长度为k,满足(0≤a_1≤a_2≤...≤a)(k-1)(≤a_k≤R-L)，设(x_1=a_1,a_i=a_i-a)(i-1)，由于(x_i)是(a_i)之间的差值，他们只有具有相对大小关系，而不关注的绝对值。(x_i)之和小于等于(R-L)，由于(x_i)可以等于0，我们将(x_i)都加1，(x_i)都大于0。
(x_i)之和小于等于(R-L+k)，用挡板法求解不等方程：n个小球，凑成k部分小于等于n的球数，则在n个空隙插入k个挡板，第i个挡板前代表第i部分的小球数，结果为(C(n,k))。
。
带入得答案是：(C(R-L+k,k))
解法2
我们将a的大于等于映射成b的大于序列：(b_1=a_1,b_2=a_2+1,...b_k=a_k+k-1),(0≤b_1<b_2<...<b_k≤R-L+k-1)，所以相当于从1到R-L+k中选择k个不同的数。答案为：(C(R-L+k,k))
下面就是要求枚举k从1到n，C(R-L+k,k)的和，直接枚举会超时。将(C(m+1,m)+C(m+2,m)+...+C(m+n,m))化简得：(C(m+n+1,m+1)-C(m+1,m+1))。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int p=1e6+3;
LL qmi(LL a,LL b){
LL res=1;
while(b){
if(b&1) res=res*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1;
}
return res;
}
LL C(LL a,LL b){
LL down=1,up=1;
for(int i=a,j=b;j>=1;--j,--i){
up=up*i%p;
down=down*j%p;
}
return up*qmi(down,p-2)%p;
}
LL Lucas(LL a,LL b){
if(a<10000&&b<10000) return C(a,b);
else return C(a%p,b%p)*Lucas(a/p,b/p)%p;
}
int main(){
int T;
cin>>T;
while(T--){
LL n,l,r;
cin>>n>>l>>r;
cout<<(Lucas(n+r-l+1,n)-1+p)%p<<endl;
}
return 0;
}