高等代数复习笔记 常见证明

关于矩阵的秩，王萼芳的书上给了一个比较简单的证明，丘维声的书上给了一个比较容易理解的证明，这里记一下复习复习，算是加深理解

方法一

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引理：齐次线性方程组(Aold{x}=old{0})只有零解当且仅当矩阵(A)的行秩(ge)未知数个数。

引理的证明比较简单，只需要证明初等行变换不改变行秩，再观察(A)化成阶梯形矩阵之后自由变量的数量就好了

不妨设一个矩阵(A_{s imes n})，且有(sle n)，我们首先证明行秩(r_sle)列秩$ r_n$

可以取出(r_s)个线性无关的行向量，不妨记为(old{alpha_{1},alpha_{2},dots,alpha_{r_s}})。根据线性无关的定义有：不存在一组不全为零的数(k_1,k_2,dots,k_{r_s})使得(sumlimits_{i=1}^{r_s}{k_iold{alpha_i}}=0)。记这些行向量组成的矩阵为(A_1)，即(old{x}^{T}A_1=old{0})只有零解，两边转置得到({A_1}^Told{x}=old{0})只有零解。由引理可知(r_s) (le) ({A_1}^T)的行秩。那么我们可以从({A_1}^T)中取出它行向量的一个极大线性无关组。根据定理这个极大线性无关组的延伸组也是线性无关的，于是我们就把它填充为原本列向量的转置。

这里可以看出矩阵(A)的列向量组至少有(r_s)个向量线性无关，因此(r_sle r_n)

由对称性可知反过来是同理的，或者你转置一下也行。这个证法我jio得很简洁

方法二

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Step1

首先证明行阶梯形矩阵的行秩=列秩。记(A)的非零行数量为(r)，首先可以把每一行主元所在的行和列抠出来，不妨记第(i)个主元所在列为(K_i)，它们交点组成的子矩阵记为(C)。很显然(C)是一个上三角矩阵，于是(|C| eq0)，也就是说(C)中的行列向量组都是线性无关的，同样它们的延伸组也是线性无关的

1. 先看矩阵(A)的列向量组，记为(old{alpha_1,alpha_2,dots,alpha_n})，它们的特点是每一个向量的后(s-r)个元素全为(0)，这表示(A)的列秩(r_n=r=rleft(old{alpha_{K_1},dots,alpha_{K_r}} ight))，于是我们抠出来的这(r)个列向量就是(A)的列向量组的一个极大线性无关组

2. 再看(A)的行向量组，记为(old{})(old{eta_1,eta_2,dots,eta_s})，由(|C| eq0)可知其中的(r)个向量线性无关，剩余(s-r)个都是(old0)，于是行秩(r_s=r=rleft(old{eta_{K_1},eta_{K_2},dots,eta{K_r}} ight))

综合1、2可得，行阶梯形矩阵的行秩等于列秩

Step2

再证明初等行变换不改变行秩

第i行的k倍加到第j行，即向量组(old{alpha_1,dots,alpha_i,dots,alpha_j,dots,alpha_n})变成了(old{alpha_1,dots,alpha_i,dots,kalpha_i+alpha_j,dots,alpha_n})。这俩显然是等价的，它们的秩也相等

交换i、j两行显然不变，某一行乘上一个非零系数显然不变

Step3

再证明初等行变换不改变列向量组的线性相关性

任取(A)中的列向量组(old{alpha_1,alpha_2,dots,alpha_p})，其经历一系列初等行变换变成行阶梯形(old{eta_1,eta_2,dots,eta_p})

如果(oldeta)线性无关，那么它的前(p)个分量组成的(p imes p)的矩阵行列式( eq0)，又因为行初等变换不改变行列式的值，因此得到(oldalpha)的前(p)个分量组成的矩阵的行列式也( eq0)；如果线性相关，那么这个结论也是对应的

于是初等行变换不改变列向量组的线性相关性

Step4

最后证明初等行变换不改变列秩

取(A)的(r_n)个线性无关的列向量构成一个极大线性无关组(oldalpha)，其经历一系列初等行变换变成(oldeta)，由Step3可知(oldeta)中的这(r_n)个向量也线性无关，因此初等行变换不会使列秩减小；

再任取(A)中的(r_n+1)个列向量(如果有的话)，易得这(r_n+1)个列向量线性相关，于是其对应的(oldeta)中的任意(r_n+1)个列向量都线性相关，因此初等行变换不会使列秩增大；

因此初等行变换不改变列秩

Step5

综合1234就可以把任意的矩阵通过初等行变换变成行阶梯形矩阵，再由秩的不变性得到任意矩阵的行秩等于列秩