一、引例
#1033 : 交错和
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描述
给定一个数 x，设它十进制展从高位到低位上的数位依次是 a0, a1, ..., an - 1，定义交错和函数：
f(x) = a0 - a1 + a2 - ... + ( - 1)n - 1an - 1
例如：
f(3214567) = 3 - 2 + 1 - 4 + 5 - 6 + 7 = 4
给定 l, r, k，求在 [l, r] 区间中，所有 f(x) = k 的 x 的和，即：
1405402477702.png
输入
输入数据仅一行包含三个整数，l, r, k(0 ≤ l ≤ r ≤ 1018, |k| ≤ 100)。
输出
输出一行一个整数表示结果，考虑到答案可能很大，输出结果模 109 + 7。
提示
对于样例 ，满足条件的数有 110 和 121，所以结果是 231 = 110 + 121。
1 /* 2 ************************************交错和*********************************************** 3 ******************************by JA/C++ 2015-1-19**************************************** 4 */ 5 6 7 #include <cstdio> 8 #include <cstring> 9 long long mod = 1000000007; 10 long long base[20]; 11 long long l, r, k, bit[20], bt, yy; 12 struct node { 13 long long s, n;//s代表数字和，n代表数字个数 14 }; 15 node dp[20][400];//状态转移 16 node dfs(long long pos, long long target, long long limit)//数位dp，基本可以算是模板啦 17 { 18 node t; 19 t.s = t.n = 0; 20 if (pos == 0) { //处理到最后一位，直接判断返回 21 if (target == 100) 22 t.n = 1; 23 return t; 24 } 25 if ((limit == 0) && (dp[pos][target].n != -1)) return dp[pos][target]; 26 long long tail = limit ? bit[pos] : 9; 27 long long sgn = ((yy - pos) % 2) ? (-1) : (1);//确定符号 28 long long head; 29 if (pos == yy)head = 1; 30 else head = 0;//确定搜索的起点和终点 31 for (long long i= head; i <= tail; i++) 32 { 33 node tmp = dfs(pos - 1, target - i*sgn, (limit == 1) && (i == bit[pos])); 34 if ((tmp.n)>0){ 35 t.n += tmp.n; 36 long long q; 37 q = ((((tmp.n%mod)*base[pos]) % mod)*i) % mod;//结果的同余处理 38 t.s += (tmp.s) % mod; 39 t.s %= mod; 40 t.s += q; 41 t.s %= mod;//每一步都要同余 42 } 43 } 44 if (limit == 0) dp[pos][target] = t; 45 return t; 46 } 47 long long cal(long long x, long long y) 48 { 49 long long ans = 0; 50 if (x == -1) return 0; 51 if (x == 0) return 0; 52 bt = 0; 53 while (x) 54 { 55 bt++; 56 bit[bt] = x % 10; 57 x /= 10; 58 } 59 for (yy = 1; yy <= bt; yy++){ 60 memset(dp, -1, sizeof dp); 61 ans += dfs(yy, y + 100, yy == bt).s;//对于每个长度为yy的数字进行处理 62 ans = (ans + mod) % mod; 63 } 64 return ans; 65 } 66 int main() 67 { 68 base[1] = 1; 69 for (int i = 2; i <= 19; i++) 70 base[i] = (base[i - 1] * 10) % mod; 71 scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &k); 72 //scanf_s("%lld%lld%lld", &l, &r, &k); 73 { 74 printf("%lld", (cal(r, k) - cal(l - 1, k) + mod) % mod); 75 } 76 return 0; 77 }
二、思路分析
给定取值范围，要求区间内数的交错和为给定数，需要用到数位dp,记忆搜索以及同余定理。
1.记忆化搜索写的时候要将相同交错和的个数，相同交错和的数字和分别进行dp。
2.对于一位数字和两位数字的计算方式并不相同，要分数字的位数进行讨论。
3.由于结果可能比较大，每一步都需要使用同余定理。
三、数位dp模板
1 const int MAX_DIGITS, MAX_STATUS; 2 LL f[MAX_DIGITS][MAX_STATUS], bits[MAX_DIGITS]; 3 4 LL dfs(int position, int status, bool limit, bool first) 5 { 6 if (position == -1) 7 return s == target_status; 8 if (!limit && !first && ~f[position][status]) 9 return f[position][status]; 10 int u = limit ? bits[position] : MAX_BITS; 11 LL ret = 0; 12 for (int i = 0; i <= u; i++) 13 { 14 ret += dfs(position - 1, next_status(status, i), limit && i == u, first && !i); 15 } 16 return limit || first ? ret : f[pos][status] = ret; 17 } 18 19 LL calc(LL n) 20 { 21 CLR(f, -1); 22 int len = 0; 23 while (n) 24 { 25 bits[len++] = n % 10; 26 n /= 10; 27 } 28 return dfs(len - 1, 0, true, true); 29 } 30 31 int main() 32 { 33 //freopen("0.txt", "r", stdin); 34 LL a, b; 35 while (cin >> a >> b) 36 cout << calc(b) - calc(a - 1) << endl; 37 return 0; 38 }
四、记忆化搜索
记忆化搜索=搜索的形式+动态规划的思想
参考文献
1.算法合集之《浅谈数位类统计问题》——刘聪
2.推酷《数位dp模板》