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首先随机选择一个轴，并调整数组内各个数字，使得比轴值大的数在轴的右边，比轴小的数在抽的左边。然后在递归的对左边和右边进行快速排序。
在调整的过程中，可以使用交替填坑的算法。
例如对于序列 4 2 3 0 1 5 第一次随机选择轴值为3。那么首先把轴值与第一个数交换。并保存数值3，得到序列：
3 2 4 0 1 5
p q
现在取两个指针p，q分别指向序列的第一个数和最后一个数。即p指向3，q指向5。现在p指向的数字为坑，可以被替换掉，那么另q指向第一个比轴值小且在p后面的数，即1。那么把1覆盖掉p指向的坑。并且另p++，现在序列变为：
1 2 4 0 1 5
p q
现在q指向的1为坑，现在另p找到第一个比轴值3大的且在q之前的数，即4。那么把4填入q指向的坑中。q--，序列变为：
1 2 4 0 4 5
p q
现在p指向的4为坑，把第一个比轴值3小且在p后面的数为0，那么把0填入坑中，p++，序列变为：
1 2 0 0 4 5
q p
现在p指向的0为坑，发现p>q，那么把轴值填入坑中，即完成了partition的过程。最终序列为：
1 2 0 3 4 5 轴值为3，其左侧的数都比3小，右侧的数都比3大。
然后对序列1 2 3和4 5，递归的调用快速排序算法就可以了。
代码如下，分别实现了递归和非递归的快排。
1 int partation(vector<int> & arr, int l, int r) 2 { 3 int p = rand() % (r - l + 1) + l; 4 int pval = arr[p]; 5 swap(arr[p], arr[l]); 6 while( l < r ) 7 { 8 while( l < r && arr[r] >= pval ) r--; 9 arr[l] = arr[r]; 10 while( l < r && arr[l] < pval ) l++; 11 arr[r] = arr[l]; 12 } 13 arr[l] = pval; 14 return l; 15 } 16 17 void qs_st(vector<int> & arr, int l, int r) 18 { 19 if( l >= r ) return; 20 stack<pair<int, int> > st; 21 int m = partation(arr, l, r); 22 if( m - 1 > l ) st.push(make_pair(l, m - 1)); 23 if( m + 1 < r )st.push(make_pair(m + 1, r)); 24 while( !st.empty() ) 25 { 26 int l = st.top().first; 27 int r = st.top().second; 28 st.pop(); 29 int m = partation(arr, l, r); 30 if( m - 1 > l ) st.push(make_pair(l, m - 1)); 31 if( m + 1 < r ) st.push(make_pair(m + 1, r)); 32 } 33 } 34 35 void qs(vector<int> & arr, int l, int r) 36 { 37 if(l >= r) return; 38 int m = partation(arr, l, r); 39 qs(arr, l, m - 1); 40 qs(arr, m + 1, r); 41 }
对于快速排序算法的复杂度我们可以进行如下的计算：
对于一个长度为$n$的序列，我们定义指数函数$I(i,j)$：在快速排序算法中如果第$i$个元素和第$j$个元素比较过就为1否则为0。
那么总的比较次数$X$为：
egin{equation} X = sum_{i=1}^{n}sum_{j=i+1}^{n}I(i,j) end{equation}
我们可以得到$X$的期望为：
egin{eqnarray} E(X) &=& E(sum_{i=1}^{n}sum_{j=i+1}^{n}I(i,j))\ &=& sum_{i=1}^{n}sum_{j=i+1}^{n}E(I(i,j))\ &=&sum_{i=1}^{n}sum_{j=i+1}^{n}P(mbox{i is compared with j})\ &leq& sum_{i=1}^{n}sum_{j=i+1}^{n} frac{2}{j-i+1}\ &=&sum_{i=1}^{n}sum_{k=1}^{n-i} frac{2}{k+1}\ &<& sum_{i=1}^{n}sum_{k=1}^{n} frac{2}{k+1}\ &=& O(nlog n) end{eqnarray}
其中第5步，i和j比较的概率，可以这么计算，不妨设i和j分别为排完序后的位置且i<j，那么如果i和j之间的数当过轴，那么i和j在后面的过程中就绝对不会在进行比较。
因此i和j比较过只有可能小于i或大于j的数当做轴，那么在下面的递归过程中，最终会形成一个由i到j组成的序列，i为序列的第一个，j为序列的最后一个，那么i和j比较过只有可能i为轴或j为轴。
其中i为轴的概率为在j-i+1个数中选择1个即1/(j-i+1)，同理j被选作为轴的概率也为1/(j-i+1)，即i和j被比较过的概率为2/(j-i+1)。