理论物理极础之插播数学2：积分

“乔治，我干事喜欢反着来。微分能反着来吗？”
“当然可以，莱尼，那就是积分。”

积分

微分处理的是变化率。积分做的是把许许多多微小的增量加起来求和。乍一看，微分与积分毫无关系，其实它们密切相关。

我们先画一个函数(f(t))的图，如图1所示。

积分的中心问题是计算函数(f(t))曲线下面的面积。为了使这个问题显得更清楚，我们考虑一段函数，如(t=a)和(t=b)之间的函数，选取的自变量这两个值称为积分限。我们要计算图2中阴影部分的面积。

要计算这个面积，我们把阴影部分分成很多很多纤薄的矩形（如图3），把这些小矩形的面积加起来，就是我们要求的面积。

当然，这样得到的是近似结果，但是，当矩形的宽度趋于0，我们将得到准确结果。下面说一下计算步骤。第一步，把(t=a)和(t=b)之间的区域分成(N)个次区域，每个次区域的宽度为(Delta t)。对于某个(t)处的小矩形，宽为(Delta t)，高为此处的函数值(f(t))，于是可得此处小矩形的面积为

[delta A =f(t)Delta t ]

把所有的这些小矩形的面积加起来，就得到要求的阴影部分面积的近似值，

[A =sum_i f(t_i)Delta t ]

其中的大写希腊字母(Sigma)表示求和，即把一系列用(i)标记的值加起来。比如(N=3)，就有

[A =sum_i f(t_i)Delta t=f(t_1)Delta t+f(t_2)Delta t+f(t_3)Delta t ]

这里(t_i)表示第(i)个小矩形在(t)轴上的位置。

(Delta t)趋于0，小矩形数目(N)趋于无穷，求出此时小矩形面积和的极限，此即为要求的面积的准确值，也即是(f(t))的定积分的定义，写为下式：

[A =lim_{Delta t ightarrow 0}sum_i f(t_i)Delta t=int_a^b f(t)dt ]

积分符号(int)取代了求和符号，(dt)取代了(Delta t)，积分符号里面的函数(f(t))称为被积函数。

把上式中的(b)，换成(T)，得到这样一个积分，

[int_a^T f(t)dt ]

把(T)看成一个变量，上式这个积分就是变量(T)函数（注意不是(t)的函数）：

[F(T)=int_a^T f(t)dt ]

由一个给定的函数(f(t))，定义出一个新的函数(F(T))。前面的(a)也是可以变的，这里我们不考虑这种情况。这个新的函数(F(T))称为(f(t))的不定积分。称为不定积分，因为我们不是从一个固定值积分到另一个固定值，而是积分到另一个变量。对于不定积分，我们通常不写上下限，写为如下形式：
egin{equation}F(t)=int f(t)dtlabel{eq:infd}end{equation}

微分和积分之间有深刻联系，如果(F(t)=int f(t)dt)，则有

[f(t)=frac{dF(t)}{dt} ]

这个联系就叫做微积分基本定理，下面我们说明一下这个结果的由来。变量(T)有个小的增量，从(T)变到(T+Delta t)，于是有个新的积分，

[F(T+Delta t)=int_a^{T+Delta t} f(t)dt ]

即在图3阴影部分(t=T)处新加了一块宽为(Delta t)矩形，于是差(F(T+Delta t)-F(T))即为多出来的这块小矩形的面积，

[F(T+Delta t)-F(T)=f(T)Delta t ]

两边除以(Delta t)，

[frac{F(T+Delta t)-F(T)}{Delta t}=f(T) ]

取极限(Delta t ightarrow 0)，有：

[lim_{Delta t ightarrow 0}frac{F(T+Delta t)-F(T)}{Delta t}=frac{dF}{dT}=f(T) ]

换一下变量的符号，则有

[frac{dF(t)}{dt}=f(t) ]

这说明，积分和微分是逆运算，积分的导数即原被积函数。

知道(F(t))的导数是(f(t))就能完全确定(F(t))吗？还不能完全确定，因为(F(t))加上一个常数不改变它的导数。给定一个函数(f(t))，它的不定积分的函数形式是不定的，如果(F(t))是(f(t))的不定积分，(F(t))加上任意常数之后，(F(t)+C)也是(f(t))的不定积分。

下面我们说明一下微积分基本定理的应用。比如我们计算函数(f(t)=t^n)的积分，

[F(t)=int f(t)dt ]

根据微积分基本定理，有

[f(t)=frac{dF(t)}{dt} ]

即

[t^n=frac{dF(t)}{dt} ]

现在的任务就是找到一个函数(F(t))，它的导数是(t^n)，这不是难事。

我们在上一章就已经知道，

[frac{d(t^m)}{dt}=mt^{m-1} ]

令(m=n+1)，则有

[frac{d(t^{n+1})}{dt}=(n+1)t^n ]

两边除以(n+1)，有

[frac{d(t^{n+1}/n+1)}{dt}=t^n ]

因此，(t^n)是(frac{t^{n+1}}{n+1})的导数，所以，

[F(t)=int t^ndt=frac{t^{n+1}}{n+1} ]

再加上任意的常数，就得到(t^n)的不定积分，

[int t^ndt=frac{t^{n+1}}{n+1}+C ]

积分常数(C)需要其他的条件来确定。

出现这个任意的常数是因为积分的一个积分限没有确定。如果我们选定另一个积分限，即前述的(a)，由(a)就可以确定常数(C)。考虑积分

[int_a^Tf(t)dt ]

当两个积分限为同一点，即 (T=a)，积分必为0，由此可确定积分常数(C)。

一般情形下的微积分基本定理写为如下形式：
egin{equation}int_a^b f(t)dt=F(t)ig |_a^b=F(b)-F(a)label{eq:def}end{equation}
另外一个表述方式是
egin{equation}int frac{df}{dt}dt=f(t)+Clabel{eq:const}end{equation}
即对函数的导数积分得到原来的函数（加上一个任意常数）。

以下是几个有用的积分公式：

[int C dt=Ct+C'$$ （注：原文漏掉第二个常数$C'$） $$int Cf(t)dt=C int f(t)dt]

[int t dt=frac{t^2}{2}+C ]

[int t^2 dt=frac{t^3}{3}+C ]

[int t^ndt=frac{t^{n+1}}{n+1}+C ]

[int sin t dt =-cos t +C ]

[int cos t dt =sin t +C ]

[int e^t dt = e^t +C ]

[int frac{dt}{t} = ln t +C$$ （注：原文漏掉常数$C$） $$int [f(t) pm g(t)]dt = int f(t)dt pm int g(t) dt ]

练习1：求下列函数的不定积分：$$f(t)=t^4$$ $$f(t)=cos t$$ $$f(t)=t^2-a$$

练习2：取积分限分别为(t=0)和(t=T)，应用微积分基本定理重新计算练习1中的积分

练习3：把练习1中的函数视为一个粒子的加速度的表达式，积分一次，得到粒子的速度，再积分一次，得到粒子的轨迹。wom我们取(t)为积分限，把函数的哑变量改为(t')，将函数从(t'0)积分到(t'=t)，$$v(t)=int_0^t t'^4 dt'$$ $$v(t)=int_0^t cos t' dt'$$ $$v(t)=int_0^t (t'^2-a) dt'$$

分部积分

计算积分可以查表，或者用数学软件(Mathematica)。如果不得不手算，有个古老的技巧，非常有用，这就是分部积分。我们曾在上一章讲过两个函数的积的导数：

[frac{d[f(x)g(x)]}{dx}=f(x)frac{dg(x)}{dx}+g(x)frac{df(x)}{dx} ]

对上式两边进行积分，从(x=a)积到(x=b)，

[int frac{d[f(x)g(x)]}{dx}dx=int f(x)frac{dg(x)}{dx} dx + int g(x)frac{df(x)}{dx} dx ]

上式的左边比较容易，函数导数的积分是函数本身，即上式的左边为

[f(b)g(b)-f(a)g(a) ]

常写为如下形式：

[f(x)g(x)vert_a^b ]

现在把右边其中一项移到左边，
egin{equation}f(x)g(x)|_a^b-int f(x)frac{dg(x)}{dx} dx=int g(x)frac{df(x)}{dx} dxlabel{eq:part}end{equation}

现在考虑计算一个积分，被积函数恰好是一个函数(f(x))与另外一个函数(g(x))的导数的积，即方程( ef{eq:part})右边的形式，如果直接积分没办法算，可以转换成方程( ef{eq:part})左边的形式，如果运气好，左边的积分(int f(x)frac{dg(x)}{dx} dx)我们会算，那么方程( ef{eq:part})右边的积分也就算出来了。

下面我们举个例子。比如计算如下积分：

[int_0^{pi/2}xcos x dx ]

注意到

[cos x = frac{dsin x}{dx}$$，于是要求的积分变成 $$int_0^{pi/2}x frac{dsin x}{dx} dx]

根据方程( ef{eq:part})，上式结果为：

egin{equation} otag x sin x vert_0^{pi/2}-int_0^{pi/2}frac{dx}{dx}sin x dxend{equation}

也即

egin{equation} otag xsin x|_0^{pi/2}-int_0{pi/2}sin x dxend{equation}

(int\_0^{pi/2}sin x dx)我们会算，那么剩下的事情比较容易了，请自己完成。

练习4：完成积分(int_0^{pi/2}xcos x dx)的计算

你可能会问，分部积分这个技巧很常用吗？答案是：很常用，但不是每次都好用，看运气了。