选自《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》，有少许改动。
原译者：薛密
(sqrt{2})是无理数，即不能写成一个分数。欧几里得以反证法证明此结论。第一步是假定相反的事实是真的，即(sqrt{2})可以写成某个未知的分数。用(frac{p}{q}) 来代表这个假设的分数，其中 (p) 和 (q) 是两个整数。
在开始证明本身之前，需要对分数和偶数的某些性质有个基本的了解。
(1) 如果任取一个整数并且用2去乘它，那么得到的新数一定是偶数。这基本上就是偶数的定义。
(2) 如果已知一个整数的平方是偶数，那么这个整数本身一定是偶数。
(3) 最后，分数可以简化。例如分数(frac{16}{24})，用2除分子分母得(frac{8}{12})，两个分数(frac{16}{24})与(frac{8}{12})是相等的，进一步，(frac{8}{12})与(frac{4}{6}) 是相等的，而(frac{4}{6}) 又与(frac{2}{3})是相等的。然而，(frac{2}{3})不能再化简，因为2 和3没有公因数。不可能将一个分数永远不断地简化。
欧几里得相信(sqrt{2})不可能写成一个分数。然而，由于他采用反证法，所以他先假定
egin{equation*} sqrt{2}=frac{p}{q} end{equation*}
将两边平方，得
egin{equation*} 2=frac{p^2}{q^2} end{equation*}
即
egin{equation*} 2q^2=p^2 end{equation*}
现在根据第(1) 点我们知道(p^2) 必定是偶数。此外，根据第(2) 点我们知道 (p) 本身也必须是偶数。但是，如果 (p) 是偶数，那么它可以写成(2m)，其中(m) 是某个别的整数。这是从第(1) 点可以得出的结论。将这再代回到等式中，我们得到
egin{equation*} 2q^2=p^2=(2m)^2=4m^2 end{equation*}
两边除以2，得
egin{equation*} q^2=2m^2 end{equation*}
但是根据我们前面用过的同样的论证，我们知道 (q^2) 必须是偶数，因而 (q) 本身必须是偶数。如果确实是这样，那么 (q) 可以写成(2n)，其中 (n) 是某个别的整数。如果我们回到开始的地方，那么
egin{equation*} sqrt{2}=frac{p}{q}=frac{2m}{2n}=frac{m}{n} end{equation*}
现在我们得到一个新的分数(frac{m}{n})，它比(frac{p}{q})更简单。
然而，我们发现对(frac{m}{n})我们可以精确地重复以上同一个过程，在结束时我们将产生一个更简单的分数，比方说(frac{g}{h})。然后又可以对这个分数再重复相同的过程，而新的更为简单的分数，比方说(frac{e}{f})将是。我们可以对它再作同样的处理，并且一次次地重复这个过程，不会结束。但是根据第(3) 点我们知道任何分数不可能永远简化下去，总是必须有一个最简单的分数存在，而我们最初假定的分数(frac{p}{q}) 似乎不服从这条法则。于是，我们可以有正当的理由说我们得出了矛盾。如果(sqrt{2})可以写成为一个分数，其结果将是不合理的，所以，说(sqrt{2})不可能写成一个分数是对的。于是，(sqrt{2})是一个无理数。