参考文献：J. Chem. Phys. 141, 234902 (2014)
聚电解质微凝胶由(N)条链组成，每条链链长为(m)，链带电分率为(alpha)，电离出反离子数目为(Z=fNm)。微凝胶半径为(a)。溶液中平均每个凝胶占据的体积为(frac{4pi}{3}R^3)
体系自由能（以(k_BT)约化）为：
egin{equation} egin{split} F=& F_{ela}+int f(vec{r})mathrm dvec{r}\ =& F_{ela}+int [f_{ele}(vec{r})+f_{tr}(vec{r})+f_{mix}(vec{r})]mathrm dvec{r} end{split} label{Fenergy} end{equation}
eqref{Fenergy}式中(F_{ela})为链的熵弹性能：
egin{equation} F_{ela}=frac{3N}{2}left [left (frac{phi_0}{phi} ight )^{2/3}-lnleft (frac{phi_0}{phi} ight ) ight ] label{Fela} end{equation}
其中(phi_0)、(phi)分别为凝胶在参考态和当前态的链节体积分数。
eqref{Fenergy}式中(f_{ele}(vec{r}))为静电自由能密度：
egin{equation} f_{ele}(vec{r})=-frac{1}{8pi l_B}mid abla psi(vec{r}) mid^2+[n_+(vec{r})-n_-(vec{r})-alphaphi/v_0]psi(vec{r}) label{fele} end{equation}
其中(psi(vec{r}))为电势（以(k_BT/e)约化），(n_{pm})为小离子的数密度。
eqref{Fenergy}式中(f_{tr}(vec{r}))为小离子的平动熵：
egin{equation} f_{tr}(vec{r})=n_+(vec{r})[ln (n_+lambda_B^3)-1]+n_-(vec{r})[ln (n_-lambda_B^3)-1]-mu_+n_+(vec{r})-mu_-n_-(vec{r}) label{ftr} end{equation}
其中(lambda_B)为德布罗意热波长，(mu_{pm})为正负小离子的化学势。
eqref{Fenergy}式中(f_{mix}(vec{r}))为溶剂和凝胶的混合自由能：
egin{equation} f_{tr}(vec{r})=frac{1}{v_0}[(1-phi)ln (1-phi)+chi phi(1-phi)] label{fmix} end{equation}
其中(v_0)为溶剂分子和凝胶链节的体积。
eqref{Fenergy}式对(psi(vec{r}))变分，得
egin{equation} abla^2 psi(vec{r})=-4pi l_B[n_+(vec{r})-n_-(vec{r})-alpha phi/v_0] label{PB} end{equation}
eqref{Fenergy}式对(n_{pm}(vec{r}))变分，并整理，得
egin{equation} n_{pm}(vec{r})=mu_{pm}e^{mppsi(vec{r})} label{nden} end{equation}
在本体溶液(psi=0)，(n_{pm}=c_s)，这里(c_s)为本体溶液盐浓度。所以上式可化为
egin{equation} n_{pm}(vec{r})=c_se^{mppsi(vec{r})} label{ndis} end{equation}
eqref{Fela}式对(V)求导，得熵弹性力
egin{equation} Pi_{ela}=-frac{mathrm dF_{ela}}{mathrm dV}=-frac{N}{V_0}left [left ( frac{phi}{phi_0} ight )^{1/3} -frac{2}{3}frac{phi}{phi_0} ight ] label{Piela} end{equation}
凝胶内小分子渗透压为
egin{equation} egin{split} Pi_{g}=&n_+frac{partial f}{partial n_+}+n_-frac{partial f}{partial n_-}+mid abla psimidfrac{partial f}{partial abla psi}+phifrac{partial f}{partial phi}-f\ =&-frac{1}{8pi l_B}mid abla psi(vec{r}) mid^2+n_+(vec{r})+n_-(vec{r}) \ & -frac{1}{v_0}left [ln(1-phi)+chiphi^2+phi ight ] end{split} label{Pig} end{equation}
本体溶液小分子渗透压为
egin{equation} Pi_{b}=2c_s label{Pib} end{equation}
体系渗透压差为
egin{equation} egin{split} Pi_{os}=Pi_{g}-Pi_{b}=&-frac{1}{8pi l_B}mid abla psi(vec{r}) mid^2+n_+(vec{r})+n_-(vec{r})-2c_s \ & -frac{1}{v_0}left [ln(1-phi)+chiphi^2+phi ight ] end{split} label{Pios} end{equation}
渗透压差与熵弹性力二者平衡：
egin{equation} egin{split} Pi_{ela}+Pi_{os}=&-frac{N}{V_0}left [left ( frac{phi}{phi_0} ight )^{1/3} -frac{2}{3}frac{phi}{phi_0} ight ]\ &-frac{1}{8pi l_B}mid abla psi(vec{r}) mid^2+n_+(vec{r})+n_-(vec{r})-2c_s \ & -frac{1}{v_0}left [ln(1-phi)+chiphi^2+phi ight ]\ =&0 end{split} label{Pieq} end{equation}
此式中(vec{r})可取凝胶内部任意一点，显然取(r=0)处最为方便。
体系状态由eqref{PB}、eqref{ndis}和eqref{Pieq}组成的方程组给出。体系具有球对称性，以上方程在球坐标系求解。要求解的方程即为：
egin{equation*} egin{cases} frac{mathrm d^2}{mathrm dr^2}psi(r)+frac{2}{r}frac{mathrm d}{mathrm dr}psi(r)=-4pi l_B[n_+(r)-n_-(r)-alphaphi/v_0]\ \ n_{pm}(r)=c_se^{mppsi(r)}\ \ -frac{N}{V_0}left [left ( frac{phi}{phi_0} ight )^{1/3} -frac{2}{3}frac{phi}{phi_0} ight ]+n_+(0)+n_-(0)-2c_s\ -frac{1}{v_0}left [ln(1-phi)+chiphi^2+phi ight ]=0 \ phi=frac{mNv_0}{frac{4pi a_3}{3}} Theta(a-r) end{cases} end{equation*}
其中(Theta(x))为阶跃函数。
边界条件：
egin{equation*} egin{cases} frac{mathrm d}{mathrm dr}psi(r)Big|_{r=0}=0 \ psi(r=a^-)=psi(r=a^+)\ frac{mathrm d}{mathrm dr}psi(r)Big|_{r=R}=0 end{cases} end{equation*}