BZOJ 3129 SDOI2013 方程

如果没有限制，答案直接用隔板法C(m-1,n-1)

对于>=x的限制，我们直接在对应位置先放上x-1即可，即m=m-(x-1)

对于<=x的限制，由于限制很小我们可以利用容斥原理将它转化为上面的>=x的限制

即减去1个不满足的 加上2个不满足的 减去3个不满足的 ……

之后就是组合数的计算，对于一个非常大的模数，我们可以将它唯一分解，之后CRT还原即可

但是我们有可能不存在逆元，数据范围不允许我们递推计算组合数

我们知道没有逆元当且仅当(a,p)不互素，我们可以将阶乘分成两部分:互素和不互素

互素的部分具有循环节，我们暴力计算循环节之后快速幂即可

不互素的部分我们可以提出他们的gcd出来并记录指数，剩余部分又变成了计算阶乘，递归即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
const int maxn=110;
typedef long long LL;
int T,tot=0;
LL p,n,n1,n2,m;
LL mod[maxn],prime[maxn],a[maxn];
LL Num[maxn];
LL x,y,d;
LL ans;
 
void Get_mod(LL x){
    for(int i=2;i*i<=x;++i){
        if(x%i==0){
            prime[++tot]=i;mod[tot]=1;
            while(x%i==0){x/=i;mod[tot]*=i;}
        }
    }
    if(x>1)prime[++tot]=x,mod[tot]=x;
}
void ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d){
    if(b==0){x=1;y=0;d=a;}
    else{ex_gcd(b,a%b,y,x,d);y-=(a/b)*x;}
}
LL pow_mod(LL v,LL p,LL mod){
    LL tmp=1;
    while(p){
        if(p&1)tmp=tmp*v%mod;
        v=v*v%mod;p>>=1;
    }return tmp;
}
LL inv(LL a,LL b){
    ex_gcd(a,b,x,y,d);
    return (x%b+b)%b;
}
LL CRT(){
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=tot;++i){
        LL m=p/mod[i];
        ex_gcd(mod[i],m,d,y,d);
        ans=(ans+y*m*a[i])%p;
    }return (ans+p)%p;
}
pair<LL,LL> fac(int k,LL n){
    if(n==0)return make_pair(0,1);
    int x=n/prime[k],y=n/mod[k];
    LL ans=1;
    if(y){
        for(int i=2;i<mod[k];++i)if(i%prime[k]!=0)ans=(ans*1LL*i)%mod[k];
        ans=pow_mod(ans,y,mod[k]);
    }
    for(int i=y*mod[k]+1;i<=n;++i)if(i%prime[k]!=0)ans=(ans*1LL*i)%mod[k];
    pair<LL,LL> tmp=fac(k,x);
    return make_pair(x+tmp.first,ans*tmp.second%mod[k]);
}
LL cal(int k,LL n,LL m){
    if(n<m)return 0;
    pair<LL,LL> a=fac(k,n),b=fac(k,m),c=fac(k,n-m);
    return pow_mod(prime[k],a.first-b.first-c.first,mod[k])*a.second%mod[k]
    *inv(b.second,mod[k])%mod[k]*inv(c.second,mod[k])%mod[k];
}
LL C(LL n,LL m){
    for(int i=1;i<=tot;++i)a[i]=cal(i,n,m);
    return CRT();
}
void DFS(int pos,int now,LL sum){
    if(pos>n1){
        if(now)ans-=C(m-1-sum,n-1);
        else ans+=C(m-1-sum,n-1);
        ans=(ans+p)%p;
        return;
    }
    DFS(pos+1,now,sum);
    DFS(pos+1,now^1,sum+Num[pos]);
}
 
int main(){
    scanf("%d%lld",&T,&p);
    Get_mod(p);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&n1,&n2,&m);
        for(int i=1;i<=n1;++i)scanf("%lld",&Num[i]);
        for(int i=1;i<=n2;++i){scanf("%lld",&x);m=m-x+1;}
        ans=0;
        DFS(1,0,0);
        printf("%lld
",(ans+p)%p);
    }return 0;
}