8.4 异常观测值
8.4.1 离群点
car包也提供了一种离群点的统计检验方法。outlierTest()函数可以求得最大标准化残差绝对值Bonferroni调整后的p值：
> library(car)
> outlierTest(fit)
rstudent unadjusted p-value Bonferonni p
Nevada 3.542929 0.00095088 0.047544
可以看到Nevada被判定为离群点（p=0.048）。注意，该函数只是根据单个最大（或正或负）残差值的显著性来判断是否有离群点。若不显著，则说明数据集中没有离群点；若显著，则你必须删除该离群点，然后再检验是否还有其他离群点存在。
8.4.2 高杠杆值点
高杠杆值观测点，即是与其他预测变量有关的离群点。换句话说，它们是由许多异常的预测变量值组合起来的，与响应变量值没有关系。高杠杆值的观测点可通过帽子统计量（hat statistic）判断。对于一个给定的数据集，帽子均值为p/n，其中p 是模型估计的参数数目（包含截距项），n 是样本量。一般来说，若观测点的帽子值大于帽子均值的2或3倍，即可以认定为高杠杆值点。
hat.plot<-function(fit){
p<-length(coefficients(fit))
n<-length(fitted(fit))
plot(hatvalues(fit),main="Index Plot of Hat Values")
abline(h=c(2,3)*p/n,col="red",lty=2)
identify(1:n,hatvalues(fit),names(hatvalues(fit)))
}
hat.plot(fit)
8.4.3 强影响点
强影响点，即对模型参数估计值影响有些比例失衡的点。例如，若移除模型的一个观测点时模型会发生巨大的改变，那么你就需要检测一下数据中是否存在强影响点了。有两种方法可以检测强影响点：Cook距离，或称D统计量，以及变量添加图（added variable
plot）。一般来说，Cook’s D值大于4/(nk 1)，则表明它是强影响点，其中n为样本量大小，k 是预测变量数目。可通过如下代码绘制Cook’s D图形
> cutoff<-4/(nrow(states)-length(fit$coefficients)-2)
> plot(fit,which=4,cook.levels=cutoff)
> abline(h=cutoff,lty=2,col="red")
Cook’s D图有助于鉴别强影响点，但是并不提供关于这些点如何影响模型的信息。变量添加图弥补了这个缺陷。所谓变量添加图，即对于每个预测变量Xk，绘制Xk 在其他k 1个预测变量上回归的残差值相对于响应变量在其他k 1个预测变量上回归的残差值的关系图。car包中的avPlots()函数可提供变量添加图：利用car包中的influencePlot()函数，你还可以将离群点、杠杆值和强影响点的信息整合到一幅图形中
> library(car)
> avPlots(fit,ask=FALSE,onepage=TRUE,id.method="identify")
> influencePlot(fit,id.method="identify",main="InfluencePlot",sub="circle size is proportional to cook's distance")
反映出Nevada和Rhode Island是离群点，New York、California、Hawaii和Washington
有高杠杆值，Nevada、Alaska和Hawaii为强影响点。
8.5 改进措施
有四种方法可以处理违背回归假设的问题：
删除观测点；
变量变换；
添加或删除变量；
使用其他回归方法。
8.5.1 删除观测点
删除离群点通常可以提高数据集对于正态假设的拟合度，而强影响点会干扰结果，通常也会
被删除。删除最大的离群点或者强影响点后，模型需要重新拟合。若离群点或强影响点仍然存在，
重复以上过程直至获得比较满意的拟合。
8.5.2 变量变换
当模型不符合正态性、线性或者同方差性假设时，一个或多个变量的变换通常可以改善或调整模型效果。
当模型违反了正态假设时，通常可以对响应变量尝试某种变换。car包中的powerTransform()函数通过λ 的最大似然估计来正态化变量X λ。Box-Cox正态变换:
> library(car)
> states=data.frame(state.region,state.x77)
> summary(powerTransform(states$Murder))
bcPower Transformationto Normality
Est.Power Std.Err. Wald LowerBound
states$Murder 0.6055 0.2639 0.0884
Wald Upper Bound
states$Murder 1.1227
Likelihood ratio testsabout transformation parameters
LRT df pval
LR test, lambda = (0)5.665991 1 0.01729694
LR test, lambda = (1)2.122763 1 0.14512456
当违反了线性假设时，对预测变量进行变换常常会比较有用。car包中的boxTidwell()函数通过获得预测变量幂数的最大似然估计来改善线性关系。下面的例子为用州的人口和文盲率来预测谋杀率，对模型进行了Box-Tidwell变换：
> boxTidwell(Murder~Population+Illiteracy,data=states)
Score Statistic p-value MLE of lambda
Population -0.3228003 0.7468465 0.8693882
Illiteracy 0.6193814 0.5356651 1.3581188
iterations = 19
8.5.3 增删变量
改变模型的变量将会影响模型的拟合度。有时，添加一个重要变量可以解决许多问题，删除一个冗余变量也能达到同样的效果。
删除变量在处理多重共线性时是一种非常重要的方法。如果你仅仅是做预测，那么多重共线性并不构成问题，但是如果还要对每个预测变量进行解释，那么就必须解决这个问题。最常见的方法就是删除某个存在多重共线性的变量（某个变量vif 2）。另外一个可用的方法便是岭回归——多元回归的变体，专门用来处理多重共线性问题。
