深度学习基石：一篇文章理解反向传播

原文地址：https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/

背景

反向传播是训练神经网络的常用方法，之前对此一直了解的不够彻底，这篇文章算是让我彻底搞懂了反向传播的细节。

概观

对于本教程，我们将使用具有两个输入，两个隐藏的神经元，两个输出神经元的神经网络。此外，隐藏和输出神经元将包括一个偏见。

基本结构如下：

neural_network（7）

为了使用一些数字，下面是最初的权重，偏见和培训输入/输出：

neural_network（9）

反向传播的目标是优化权重，以便神经网络可以学习如何正确映射任意输入到输出。

对于本教程的其余部分，我们将使用单个训练集：给定输入0.05和0.10，我们希望神经网络输出0.01和0.99。

前进通行证

首先，让我们看看神经网络目前预测的是什么，给定0.05和0.10的权重和偏差。为此，我们将通过网络向前馈送这些输入。

我们计算出净输入总到每个隐藏层神经元，壁球使用的总净输入激活功能（在这里我们使用的逻辑功能），然后重复上述过程与输出层的神经元。

总净输入也被称为只是净输入的一些消息来源。

以下是我们计算总净投入的方法 $H_1$ ：

$net_ {h1} = w_1 * i_1 + w_2 * i_2 + b_1 * 1$

$net_ {h1} = 0.15 * 0.05 + 0.2 * 0.1 + 0.35 * 1 = 0.3775$

然后我们使用逻辑函数对其进行压缩以获得以下输出 $H_1$ ：

$out_ {h1} = frac {1} {1 + e ^ { - net_ {h1}}} = frac {1} {1 + e ^ { - 0.3775}} = 0.593269992$

执行相同的过程， $H_2$ 我们得到：

$out_ {h2} = 0.596884378$

我们重复这个过程为输出层神经元，使用隐藏层神经元的输出作为输入。

以下是输出 $O-1$ ：

$net_ {o1} = w_5 * out_ {h1} + w_6 * out_ {h2} + b_2 * 1$

$net_ {o1} = 0.4 * 0.593269992 + 0.45 * 0.596884378 + 0.6 * 1 = 1.105905967$

$out_ {o1} = frac {1} {1 + e ^ { - net_ {o1}}} = frac {1} {1 + e ^ { - 1.105905967}} = 0.75136507$

并执行相同的过程， $0-2$ 我们得到：

$out_ {o2} = 0.772928465$

计算总误差

现在我们可以使用平方误差函数来计算每个输出神经元的误差，并将它们相加得到总误差：

$E_ {total} = sum frac {1} {2}（目标 - 输出）^ {2}$

有些来源将目标称为理想，而输出则以实际为目标。

这 $压裂{1} {2}$ 是包括的，以便指数在我们稍后区分时被取消。无论如何，结果最终会乘以学习率，所以我们在这里引入一个常数并不重要[ 1 ]。

例如，目标输出为 $O-1$ 0.01，但神经网络输出为0.75136507，因此其误差为：

$E_ {o1} = frac {1} {2}（target_ {o1} -out_ {o1}）^ {2} = frac {1} {2}（0.01-0.75136507）^ {2} = 0.274811083$

重复这个过程 $0-2$ （记住目标是0.99），我们得到：

$E_ {o2} = 0.023560026$

神经网络的总误差是这些误差的总和：

$E_ {total} = E_ {o1} + E_ {o2} = 0.274811083 + 0.023560026 = 0.298371109$

向后传递

我们使用反向传播的目标是更新网络中的每个权重，使它们使实际输出更接近目标输出，从而最大限度地减少每个输出神经元和整个网络的误差。

输出层

考虑一下 $的例句$ 。我们想知道变化 $的例句$ 会影响总误差，也就是说 $frac { partial E_ {total}} { partial w_ {5}}$ 。

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {5}}$ 读作“部分的衍生物 $E_ {}总$ 相对于 $W_ {5}$ ”。你也可以说“关于梯度 $W_ {5}$ ”。

通过应用链式规则，我们知道：

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {5}} = frac { partial E_ {total}} { partial out_ {o1}} * frac { partial out_ {o1}} {部分net_ {o1}} * frac { partial net_ {o1}} { partial w_ {5}}$

在视觉上，这是我们正在做的事情：

output_1_backprop（4）

我们需要找出这个方程中的每一部分。

首先，总误差相对于输出的变化有多大？

$E_ {total} = frac {1} {2}（target_ {o1} -out_ {o1}）^ {2} + frac {1} {2}（target_ {o2} - out_ {o2}）^ { 2}$

$frac { partial E_ {total}} { partial out_ {o1}} = 2 * frac {1} {2}（target_ {o1} - out_ {o1}）^ {2-1} * -1 + 0$

$frac { partial E_ {total}} { partial out_ {o1}} = - （target_ {o1} - out_ {o1}）= - （0.01 - 0.75136507）= 0.74136507$

$- （目标出）$ 有时表达为 $超出目标$

当我们取总偏差的偏导数时 $OUT_ {} O1$ ，数量 $frac {1} {2}（target_ {o2} - out_ {o2}）^ {2}$ 变为零，因为 $OUT_ {} O1$ 它不影响它，这意味着我们正在取一个常数为零的导数。

接下来， $O-1$ 相对于其总净投入的变化输出多少？

逻辑函数的偏导数是输出乘以1减去输出：

$out_ {o1} = frac {1} {1 + e ^ { - net_ {o1}}}$

$（1-out_ {o1}）= 0.75136507（1-0.75136507）= 0.186815602$

最后，关于 $O1$ 变化的总净投入是 $的例句$ 多少？

$net_ {o1} = w_5 * out_ {h1} + w_6 * out_ {h2} + b_2 * 1$

$frac { partial net_ {o1}} { partial w_ {5}} = 1 * out_ {h1} * w_5 ^ {（1-1）} + 0 + 0 = out_ {h1} = 0.593269992$

把它放在一起：

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {5}} = frac { partial E_ {total}} { partial out_ {o1}} * frac { partial out_ {o1}} {部分net_ {o1}} * frac { partial net_ {o1}} { partial w_ {5}}$

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {5}} = 0.74136507 * 0.186815602 * 0.593269992 = 0.082167041$

您经常会看到以delta规则的形式组合这个计算：

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {5}} = - （target_ {o1} - out_ {o1}）* out_ {o1}（1 - out_ {o1}）* out_ {h1}$

或者，我们有 $frac { partial E_ {total}} { partial out_ {o1}}$ 和 $frac { partial out_ {o1}} { partial net_ {o1}}$ 可以写成 $frac { partial E_ {total}} { partial net_ {o1}}$ ，又名 $delta_ {O1}$ （希腊字母三角洲）aka 节点三角洲。我们可以用它来重写上面的计算：

$delta_ {o1} = frac { partial E_ {total}} { partial out_ {o1}} * frac { partial out_ {o1}} { partial net_ {o1}} = frac { partial E_ {total}} { partial net_ {o1}}$

$delta_ {o1} = - （target_ {o1} - out_ {o1}）* out_ {o1}（1 - out_ {o1}）$

因此：

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {5}} = delta_ {o1} out_ {h1}$

有些来源提取负号， $三角洲$ 所以它会写成：

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {5}} = - delta_ {o1} out_ {h1}$

为了减少误差，我们从当前权重中减去这个值（可选地乘以一些学习率eta，我们将其设置为0.5）：

$w_5 ^ {e} * frac { partial E_ {total}} { partial w_ {5}} = 0.4 - 0.5 * 0.082167041 = 0.35891648$

有些来源使用 $α$ （alpha）来表示学习率，其他来源使用 $ETA$ （eta），其他使用 $小量$ （epsilon）。

我们可以重复这个过程中获得新的权重 $w_6$ ， $w_7$ 以及 $w_8$ ：

$w_6 ^ {+} = 0.408666186$

$w_7 ^ {+} = 0.511301270$

$w_8 ^ {+} = 0.561370121$

在我们将新权重引入隐含层神经元之后，我们执行神经网络中的实际更新（即，当我们继续下面的反向传播算法时，我们使用原始权重，而不是更新的权重）。

隐藏层

接下来，我们将继续为新的计算值，向后传递 $W_1$ ， $W_2$ ， $w_3$ ，和 $W_4$ 。

大图片，这是我们需要弄清楚的：

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {1}} = frac { partial E_ {total}} { partial out_ {h1}} * frac { partial out_ {h1}} { partial net_ {h1}} * frac { partial net_ {h1}} { partial w_ {1}}$

视觉：

我们将使用与输出层类似的过程，但略有不同，以说明每个隐藏层神经元的输出对多个输出神经元的输出（并因此产生误差）的贡献。我们知道这 $OUT_ {} H1$ 影响到两者 $OUT_ {} O1$ ， $OUT_ {} O2$ 因此 $frac { partial E_ {total}} { partial out_ {h1}}$ 需要考虑它对两个输出神经元的影响：

$frac { partial E_ {total}} { partial out_ {h1}} frac { partial E_ {o1}} { partial out_ {h1}} + frac { partial E_ {o2}} {部分out_ {h1}}$

从以下开始 $frac { partial E_ {o1}} { partial out_ {h1}}$ ：

$frac { partial E_ {o1}} { partial out_ {h1}} frac { partial E_ {o1}} { partial net_ {o1}} * frac { partial net_ {o1}} {部分out_ {h1}}$

我们可以 $frac { partial E_ {o1}} { partial net_ {o1}}$ 使用我们之前计算的值来计算：

$frac { partial E_ {o1}} { partial net_ {o1}} = frac { partial E_ {o1}} { partial out_ {o1}} * frac { partial out_ {o1}} {部分net_ {o1}} = 0.74136507 * 0.186815602 = 0.138498562$

并且 $frac { partial net_ {o1}} { partial out_ {h1}}$ 等于 $的例句$ ：

$net_ {o1} = w_5 * out_ {h1} + w_6 * out_ {h2} + b_2 * 1$

$frac { partial net_ {o1}} { partial out_ {h1}} = w_5 = 0.40$

将它们插入：

$frac { partial E_ {o1}} { partial out_ {h1}} frac { partial E_ {o1}} { partial net_ {o1}} * frac { partial net_ {o1}} {部分out_ {h1}} = 0.138498562 * 0.40 = 0.055399425$

按照相同的过程 $frac { partial E_ {o2}} { partial out_ {h1}}$ ，我们得到：

$frac { partial E_ {o2}} { partial out_ {h1}} = -0.019049119$

因此：

$frac { partial E_ {total}} { partial out_ {h1}} frac { partial E_ {o1}} { partial out_ {h1}} + frac { partial E_ {o2}} {部分out_ {h1}} = 0.055399425 + -0.019049119 = 0.036350306$

现在，我们有 $frac { partial E_ {total}} { partial out_ {h1}}$ ，我们需要弄清楚 $frac { partial out_ {h1}} { partial net_ {h1}}$ ，然后 $frac { partial net_ {h1}} { partial w}$ 每一个权重：

$out_ {h1} = frac {1} {1 + e ^ { - net_ {h1}}}$

$（1 - 0.59326999）= 0.241300709（1 - out_ {h1}）= 0.59326999$

我们计算总净投入的偏导数， $H_1$ 与 $W_1$ 我们对输出神经元所做的相同：

$net_ {h1} = w_1 * i_1 + w_3 * i_2 + b_1 * 1$

$frac { partial net_ {h1}} { partial w_1} = i_1 = 0.05$

把它放在一起：

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {1}} = frac { partial E_ {total}} { partial out_ {h1}} * frac { partial out_ {h1}} { partial net_ {h1}} * frac { partial net_ {h1}} { partial w_ {1}}$

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {1}} = 0.036350306 * 0.241300709 * 0.05 = 0.000438568$

你也可以看到这写成：

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {1}} =（ sum limits_ {o} { frac { partial E_ {total}} { partial out_ {o}} * frac { partial {{}} { partial net_ {o}} frac { partial net_ {o}} { partial out_ {h1}}}）* frac { partial out_ {h1}} { partial net_ {h1}} * frac { partial net_ {h1}} { partial w_ {1}}$

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {1}} =（ sum limits_ {o} { delta_ {o} * w_ {ho}}）* out_ {h1}（1 - out_ { h1}）* i_ {1}$

$frac { partial E_ {total}} { partial w_ {1}} = delta_ {h1} i_ {1}$

我们现在可以更新 $W_1$ ：

$w1 ^ {+} = w_1 - eta * frac { partial E_ {total}} { partial w_ {1}} = 0.15 - 0.5 * 0.000438568 = 0.149780716$

重复这些 $W_2$ ， $w_3$ 和 $W_4$

$w_2 ^ {+} = 0.19956143$

$w_3 ^ {+} = 0.24975114$

$w_4 ^ {+} = 0.29950229$

最后，我们已经更新了所有的重量！当我们最初输入0.05和0.1的输入时，网络上的误差为0.298371109。在第一轮反向传播之后，总误差现在降至0.291027924。它可能看起来并不多，但是在重复这个过程10,000次后，错误会直线下降到0.0000351085。此时，当我们提前0.05和0.1时，两个输出神经元产生0.015912196（vs 0.01目标）和0.984065734（vs 0.99目标）。

如果你已经做到了这一点，并发现上述任何错误，或者可以想出任何方法使未来的读者更清楚，不要犹豫，给我一个笔记。谢谢！

深度学习基石：一篇文章理解反向传播

逐步反向传播示例

背景

概观

前进通行证

计算总误差

向后传递

输出层

隐藏层