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定理
(ax+by=c,;xin mathbb{Z^+},;yinmathbb{Z^+}) 成立的充要条件是 (gcd(a,b)mid c)。
证明
设 (s=gcd(a,b))，显然 (smid a)，并且 (smid b)，
因为 (x,yinmathbb{Z^+})，
所以 (smid ax,;smid by)。
显然要使得之前的式子成立，则必须满足 (c) 是 (a) 和 (b) 的公约数的倍数。
又因为 (x,yinmathbb{Z^+})，
所以 (c) 必然是 (a,b) 最大公约数的倍数。
因此，证得该定理成立。