欧拉序求LCA

例题引入

给定一个有 \(n\) 个节点的树，然后有 \(q\) 次询问，每次询问两个节点 \(u, v\) 的 \(\rm{LCA}\) 。

\(1 \leq n \leq 3 \times 10^5, 1 \leq q \leq 10^7\)

讲解

可以发现，倍增和树剖都会 \(\rm{TLE}\) ，因为每次询问都是 \(O(\log_2 n)\) 。

欧拉序

构造方法

实际上是一个比较特殊的 \(\rm{dfs}\) 序。

区别于普通的 \(\rm{dfs}\) 序，除了进入某个节点的时候加入一次序列，回溯到某个节点也会加入到序列，在这里写出伪代码（不想写C++）。

\[\begin{aligned} &\mathrm{Func}~dfs(u)\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ A.\mathrm{append}(u)\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ bg_u=|A|\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{For}~v:=son(u)\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dfs(v)\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A.\mathrm{append}(u) \end{aligned} \]

其中 \(A.\mathrm{append}(u)\) 就是向序列末尾添入一个节点 \(u\) 。\(bg_u\) 表示节点 \(u\) 在序列 \(A\) 中首次出现的位置。

性质

可以发现，对于任意一个节点 \(u\), 其在序列中出现的次数是其儿子个数加一，那么通过简单的计算可以得到第一条性质：

\[|A| = 2n-\text{叶子个数} \]

另一个比较显然但是很重要的性质：

\[\forall i\in [1,2n),dep_{A_i}-dep_{A_{i+1}}=\pm1 \]

还有一个在本文用到的性质：

对于两个节点 \(u, v (bg_u \leq bg_v)\)，他们的 \(\rm{LCA}\) 一定是 \(A\) 的区间 \([bg_u, bg_v]\) 中 \(dep\) 最小的。正确性比较显然。

主要过程和程序实现

可以首先构建一个 \(\rm{ST}\) 表，记录下大小为 \(2\) 的幂的区间的 \(dep\) 最小的 \(A_i\) ，然后在每次询问的时候找区间 \([bg_u, bg_v]\) 中最小的 \(dep\) 所在的位置。(代码可能有错)

int A[maxn << 1], A_sz, bg[maxn], dep[maxn];
void dfs(int u, int fa) {
  A[++A_sz] = u, bg[u] = A_sz, dep[u] = dep[fa] + 1;
  for (int i = hd[u]; i; i = E[i].nex) {
    int v = E[i].v;
    if (v == fa) continue;
    dfs(v, u), A[++A_sz] = u;
  }
}
int B[maxn << 1][maxlg2n], lg2[maxn << 1];
void init_st() {
  for (int i = 1; i <= (n << 1); i++) B[i][0] = A[i];
  for (int i = 2; i <= (n << 1); i++) lg2[i] = lg2[i >> 1] + 1;
  for (int i = 1; i <= lg2[n << 1]; i++)
    for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= (n << 1); j++)
      if (dep[B[i][j - 1]] < dep[B[i + (1 << (j - 1))][j - 1]])
        B[i][j] = B[i][j - 1];
  		else B[i][j] = B[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
}
int getlca(int u, int v) {
  if (bg[u] > bg[v]) swap(u, v);
  int lg = lg2[bg[v] - bg[u] + 1];
  if (dep[B[bg[u]][lg]] < dep[B[bg[v] - (1 << lg) + 1][lg]])
    return B[bg[u]][lg];
  else return B[bg[v] - (1 << lg) + 1][lg];
}

可以发现，初始化的时间复杂度为 \(O(n\log_2 n)\)，求一次 \(\rm{LCA}\) 的时间复杂度是 \(O(1)\) 的。因此总的时间复杂度是\(O(n \log_2 n + q)\) 的。