江城唱晚

江城唱晚

【题目背景】

墙角那株海棠，是你种下的思念。
生死不能忘，高烛照容颜。
一曲江城唱晚，重忆当年坐灯前，
青衫中绣着你留下的线。
——银临《江城唱晚》

【问题描述】

扶苏是个喜欢一边听古风歌一边写数学题的人，所以这道题其实是五三原题。
歌曲中的主人公看着墙边的海棠花，想起当年他其实和自己沿着墙边种了一排海
棠，但是如今都已枯萎，只剩下那一株，寄托着对他深深的思念。
沿着墙一共有$ n (个位置可以种下海棠花，主人公记得自己当年和他一共种下了) m
(朵，由于花的特性，海棠不能紧挨着种植，也就是两朵海棠花之间最少间隔一个不种花 的空位置。但是她记不清当时海棠花具体是怎么摆放的了，所以她想知道一共有多少方 案使得) m (朵海棠花都被种下且两两之间不是相邻的。我们将这) m $朵海棠花按照
$1,2,3…m (的顺序编号，两个种花的方案不同当且仅当它们被种下的位置不同或者从左向 右数花的编号序列不同。 为了避免输出过大，答案对一个参数) p $取模

【输入格式】

输入文件中有且仅有一组数据，只有一行四个数字，分别代表 (type,n,m,p)。其中
(type) 是一个帮助你判断测试点类型的参数，会在数据范围中说明。

【输出格式】

输出一行一个数字，代表答案对$ p $取模的结果。

【输入输出样例】

$1 3 2 19260718 $

(2)

【输入输出样例解释】

一共有两朵花，3 个位置。如果给花朵编号为 1,2，位置编号为 1,2,3，那么两种
方案分别如下：
位置$ 1 2 3$
方案(1) 花朵$1space N/A $花朵(2)
方案(2) 花朵(2) $N/A $花朵(1)

【数据规模与约定】

子任务编号	n(leq)	m(leq)	type=	特殊性质	子任务分值
1	1	1	0	特殊性质1	5
2	20	20	1	特殊性质1	15
3	400	200	2	无	20
4	2000	1000	3	无	20
5	2000000	1000000	4	特殊性质2	20
6	2000000	1000000	5	无	20

​ 特殊性质(1)：保证对应测试点的实际方案数（在取模之前）不超过(10^6)。

​ 特殊性质(2)：保证对应测试点的模数(p)是一个质数。定义整数(x)是一个质数当且仅当(x)有且只有(1)和(x)两个因数。

​ 对于(100)%的数据，保证(1leq pleq 10^9)，(1leq mleq lceil frac{n}{2} ceil leq 10^6)，其中(lceil x ceil)为不小于(x)的最小整数。

【题解】

前言：(zay)神仙是把每一个子任务的方法都讲了一遍，这里主要讲(60)分的版本（(DP)）和(100)分的版本（组合数学）

(60)分思路：

​ 首先设(f_{i,j})表示前(i)朵花按顺序种下，第(i)朵花种在第(j)个位置上的方案数。于是有(sum_{k=1}^{j-2}{f_{i,k}})，但是没有考虑花的序号，所以要再乘上(n!)。时间复杂度为(O(n^2m))显然只能过第三个子任务。

​ 接下来考虑优化，我们可以用一个(G_{i,j})用来维护(sum_{k=1}^{j-2}{f_{i,k}})，则有(f_{i,j}=g{i,j-2})。于是复杂度降到(O(nm))。就不会出现这个结果了。但是也只能拿(60)分。

(100)分思路及代码：

​ 考虑最后一个位置不种花的情况，这意味着每一朵花后面都跟了一个空位。我们将花和它后面的空位看成同一个 物体，则问题变成了有$ (n-m) (个位置，放) m (个物体，放置无限制。根据组合数的定义，这样选位置的方案数为)C_{n-m}^{m}$。注意到这样仍然是不考虑花的序号的，要再乘上 (m!)。
​ 考虑最后一个位置放花的情况，这意味着除了最后一朵花后面都跟了一个空位，我们去掉最后一个位置，剩下的花和后面的空位看成同一个物体，则同上可以计算方案数是(C_{n-m}^{m-1})。同样要乘上$ m!(。 ​ 根据加法原理，总方案数为)$ m!(C_{n-m}^{m}+C_{n-m}{m-1}) $$。
​ 由于模数是质数，预处理阶乘求一下阶乘逆元，即可做到(O(n log P))。但是只能过到第5个点。

​ 如果你足够机智，可以发现上面的式子可以这么化：

​ $$m!(C_{n-m}^{m}+C_{n-m}{m-1})=m!C_{n-m}^{{m}+m!C_{n-m}}{m-1}=A_{n-m}^{m}+mA_{n-m}{m-1}$$

​ 于是不用求逆元，直接求A即可。
​ 当然，由于代数恒等式 (A_x^y+yA_x^{y-1}=A_{x+1}^y)，可以直接求(A_{n-m+1}^m) 。

​ 这样就可以(A)了这道题了。