证明1：
对于一个字符串S，长度为L，如果由长度为len的字符串s（字符串s的最小循环节是其本身）循环k次构成，那么字符串s就是字符串S的最小循环节
那么字符串有个很重要的性质和KMP挂钩，即 i - next[i] 为字符串s的长度 i%（i - next[i]) ==0
证明：字符串S由s循环k次构成，那么有S[0-->L-len-1] == S[len-->L-1],即前k-1个循环节和后k-1个循环节构成的字符串相等
那么此时KMP数组的next[L] = k-1个循环节的长度， 也即 next[L] = L-len-1+1 = L - len,那么此时 L - next[L] = len , 所以 L % len = 0, L % len = k
所以如果字符串存在循环节，那么i % (i - next[i]) ==0，循环节的长度为 i - next[i]
否则，循环节的为字符串本身。
证明2：
t = n-next[n] 为循环节的长度
1、如果next[n]==0,则表示字符串S前后无任何相同的部分，所以字符串S自身为一个循环节，成立
2、如果next[n]!=0 且 字符串S的循环节个数为2
①：如果字符串S是完美(即每个循环节都是完整的）
那么next[n] = n/2 所以 t = n - next[n] = n/2,成立
②：字符串S的循环节个数为2，但是位于左边的循环节是完整的，右边的是残缺的
那么next[n] = 残缺的循环节和完整的循环节的相似长度，所以t = n - next[n]成立
3、如果next[n]!=0 且字符串S的循环节个数k>=3 ，
那么字符串S从第二个循环节开始到最后一个字符（设长度为len）和字符串S从第一个字符串开始的len个字符相等
所以t = n - next[n]成立
hdu1358
求每一个前缀是不是循环串，如果是，输出串长和循环的次数。
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 const int N = 1000000 + 10; 4 char str[N]; 5 int next[N]; 6 void makeNext(char *str) 7 { 8 int i=0,j=-1; 9 next[0] = -1; 10 while(str[i]) 11 { 12 if(j==-1||str[i]==str[j]) 13 { 14 i++; 15 j++; 16 next[i] = j; 17 } 18 else 19 j = next[j]; 20 } 21 } 22 int main() 23 { 24 25 int n; 26 int tCase = 1; 27 while(true) 28 { 29 scanf("%d",&n); 30 if(n==0) 31 break; 32 scanf("%s",str); 33 makeNext(str); 34 printf("Test case #%d ",tCase++); 35 for(int i=2; i<=n; ++i) 36 { 37 if(i%(i-next[i])==0 && next[i]!=0)//next[i]!=0,如果为0，循环节是本身 38 printf("%d %d ",i,i/(i-next[i])); 39 40 } 41 puts(""); 42 43 } 44 return 0; 45 }
hdu3746
补多少个字符能形成循环串
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 const int N = 100000 + 10; 4 5 char str[N]; 6 int next[N]; 7 8 void makeNext() 9 { 10 int i = 0,j = -1; 11 next[i] = j; 12 while(str[i]) 13 { 14 if(j==-1 || str[i]==str[j]) 15 next[++i] = ++j; 16 else 17 j = next[j]; 18 } 19 } 20 int main() 21 { 22 int t; 23 scanf("%d",&t); 24 while(t--) 25 { 26 scanf("%s",str); 27 int n = strlen(str); 28 makeNext(); 29 int t = n - next[n]; 30 if(t!=n && n%t==0) 31 puts("0"); 32 else 33 printf("%d ",t-(n-n/t*t)); 34 } 35 return 0; 36 }