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  • 概率dp专辑

    求概率

    uva11021 http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1962

    给定n,k,m

    有k个麻雀,每只活一天就会死,临死之前生出i只麻雀的概率为pi ,  0<= i <n

    问m天后,麻雀死光的概率

    独立事件同时发生是每个事件的概率相乘, 每只麻雀都是独立的,只要求出一只麻雀m天后死亡的概率dp[m], 那么k只麻雀m天后死亡的概率为dp[m]^k

    dp[i]表示i天后麻雀全部死亡的概率, 这个全部死亡即自己死亡,后代也死亡

    dp[i]可以分解为n个子事件,生0->n-1个孩子,如果生j个孩子,那么j个孩子要在i-1天后死亡,这样全部的麻雀才会在i天后死亡,j个孩子要在i-1天后死亡是独立事件同时发生

    所以是dp[i-1]^j,生j个孩子的概率为pj, 所以生j个孩子且i-1天后死亡也是独立事件,概率为pj * dp[i-1]^j

     1 #include <stdio.h>
     2 #include <string.h>
     3 #include <stdlib.h>
     4 #include <algorithm>
     5 #include <iostream>
     6 #include <queue>
     7 #include <stack>
     8 #include <vector>
     9 #include <map>
    10 #include <set>
    11 #include <string>
    12 #include <math.h>
    13 using namespace std;
    14 #pragma warning(disable:4996)
    15 typedef long long LL;                   
    16 const int INF = 1<<30;
    17 /*
    18 f[i] = p0
    19 */
    20 const int N = 1000 + 10;
    21 double p[N],dp[N];
    22 int main()
    23 {
    24     int n, k, m, t, tCase = 1;
    25     scanf("%d", &t);
    26     while (tCase <= t)
    27     {
    28         scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
    29         for (int i = 0; i < n; ++i)
    30             scanf("%lf", &p[i]);
    31         dp[0] = 0;//0天后死亡是不可能的,所以概率是0
    32         dp[1] = p[0];//一天后死亡的概率是不生孩子的概率
    33         for (int i = 2; i <= m; ++i)
    34         {
    35             dp[i] = 0;
    36             for (int j = 0; j < n; ++j)
    37                 dp[i] += p[j] * pow(dp[i - 1], j);
    38         }
    39         printf("Case #%d: %.7lf
    ", tCase++, pow(dp[m], k));
    40     }
    41     return 0;
    42 }
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    http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=2866

    给定n,m 表示第一个人的血量和第二个人的血量

    然后接下来两行,每行6个数字,分别表示摇骰子得到点数1->6的概率

    要我们求第一个人赢的概率

    p1,p2,p 表示进行一次游戏,第一个人赢,第二个人赢,平局的概率
    q1,q2表示前n局中,第一个人赢一局,其他都是平局, 第二个人赢一局,其他都是平局的概率,如图

    q1 = p1/(1-p)
    q2 = p2/(1-p)

    dp[i][j] 表示第一个人赢i次,第二个人赢j次, dp[i][j] = dp[i-1][j]*q1 + dp[i][j-1]*q2
    为什么是dp[i][j] = dp[i-1][j]*q1 + dp[i][j-1]*q2;
    而不是 dp[i][j] = dp[i-1][j]*p1 + dp[i][j-1]*p2;
    因为进行一局游戏,有第一个人赢,第二个人赢,平局
    不可能理想到只进行了一次游戏,就可能第一个人赢 即dp[i-1][j]*p1,
    所以要一个人赢一局,可能经过了n局,然后才赢一局, q1,q2就是经过了很多平局,才赢得一局的情况
    答案是dp[hp2][0->hp1-1]
    初始化条件是dp[0][0] = 1,这是必然的,因为刚开始的,必定两个人都没有赢过一次,所以是1,必定发生

     1 #include <stdio.h>
     2 #include <string.h>
     3 #include <stdlib.h>
     4 #include <algorithm>
     5 #include <iostream>
     6 #include <queue>
     7 #include <stack>
     8 #include <vector>
     9 #include <map>
    10 #include <set>
    11 #include <string>
    12 #include <math.h>
    13 using namespace std;
    14 #pragma warning(disable:4996)
    15 typedef long long LL;                   
    16 const int INF = 1<<30;
    17 /*
    18 
    19 */
    20 double dp[2001][2001];
    21 int main()
    22 {
    23     int hp1, hp2;
    24     double a[6], b[6];
    25     int i, j;
    26     double p1, p2, p, q1, q2;
    27     while (scanf("%d%d", &hp1, &hp2) != EOF)
    28     {
    29         p1 = p2 = p = q1 = q2 = 0;
    30         for (i = 0; i < 6; ++i)
    31             scanf("%lf", &a[i]);
    32         for (i = 0; i < 6; ++i)
    33             scanf("%lf", &b[i]);
    34         for (i = 0; i < 6; ++i)
    35         for (j = 0; j < i; ++j)
    36         {
    37             p1 += a[i] * b[j];
    38             p2 += a[j] * b[i];
    39         }
    40         p = 1.0 - p1 - p2;
    41         p == 1 ? q1 = q2 = 0 : q1 = p1 / (1 - p), q2 = p2 / (1 - p);
    42         //q1 = p1 / (1.0 - p);
    43         //q2 = p2 / (1.0 - p);
    44         memset(dp, 0, sizeof(dp));
    45         dp[0][0] = 1.0;
    46         for (i = 0; i <= hp2; ++i)
    47         {
    48             for (j = 0; j <= hp1; ++j)
    49             {
    50                 if (j<hp1 && i) dp[i][j] += dp[i - 1][j] * q1;
    51                 if (i<hp2 && j) dp[i][j] += dp[i][j - 1] * q2;
    52             }
    53         }
    54         double ans = 0;
    55         for (j = 0; j < hp1; ++j)
    56             ans += dp[hp2][j];
    57         printf("%.6lf
    ", ans);
    58     }
    59     return 0;
    60 }
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    poj 2151 http://poj.org/problem?id=2151

    m t n
    m到题目, t个队伍, n 冠军队最少解决n道题
    t行,每行m个数字
    表示每个队伍解决第i道题目的概率

    问我们每个队伍至少解决一题,且冠军队至少解决n题的概率
    p1为每个队伍至少解决一题的概率
    p2为每个队伍解决k题的概率 1<=k<n
    最终答案为p1-p2,每个队伍至少做出一题,且冠军队至少解决n题的概率

    单独算出队伍至少解决k题的概率,每只队伍的概率相乘(独立事件同时发生)
    dp[i][j][k] 为第i只队伍前j道题目解出k题的概率 dp[i][j][k] = dp[i][j-1][k-1] * p[i][j] + dp[j-1][k] *(1-p[i][j])

     1 #include <stdio.h>
     2 #include <string.h>
     3 #include <stdlib.h>
     4 #include <algorithm>
     5 #include <iostream>
     6 #include <queue>
     7 #include <stack>
     8 #include <vector>
     9 #include <map>
    10 #include <set>
    11 #include <string>
    12 #include <math.h>
    13 using namespace std;
    14 #pragma warning(disable:4996)
    15 typedef long long LL;                   
    16 const int INF = 1<<30;
    17 /*
    18 
    19 */
    20 double p[1000+10][30+10];
    21 double dp[30 + 10][30 + 10]; 
    22 double s[33];
    23 int main()
    24 {
    25     int n, m, t, i, j, k;
    26     while (scanf("%d%d%d", &m, &t, &n), m+n+t)
    27     {
    28         double p1, p2, tmp;
    29         p1 = p2 =  1;
    30         for (i = 1; i <= t; ++i)
    31         {
    32             tmp = 1;
    33             for (j = 1; j <= m; ++j)
    34             {
    35                 scanf("%lf", &p[i][j]);
    36                 tmp = tmp * (1 - p[i][j]);//tmp为一题都没做出来的概率
    37             }
    38             p1 = p1*(1 - tmp);//p1为每个队伍至少做出一题的概率
    39         }
    40         for (i = 1; i <= t; i++)
    41         {
    42             //dp[0][0] = 1;
    43             memset(dp, 0, sizeof(dp));
    44             dp[0][0] = 1;
    45             //for (j = 1; j <= m; ++j)
    46             //    dp[j][0] = dp[j - 1][0] * (1 - p[i][j]);
    47             for (j = 1; j <= m; ++j)
    48             {
    49                 dp[j][0] = dp[j - 1][0] * (1 - p[i][j]);
    50                 for (k = 1; k <=j; ++k)
    51                 {
    52                     dp[j][k] += dp[j - 1][k] * (1 - p[i][j]);
    53                     //if (k!=0)
    54                     dp[j][k] += dp[j - 1][k - 1] * p[i][j];
    55                 }
    56             }
    57             tmp = 0;
    58             for (k = 1; k < n; ++k)
    59                 tmp += dp[m][k];
    60             p2 = p2 * tmp;
    61         }
    62         printf("%.3f
    ", p1 - p2);
    63     }
    64     return 0;
    65 }
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    poj3071 http://poj.org/problem?id=3071

    给定一个n, 表示有2^n个队伍进行比赛

    给定一个2^n * 2^n的矩形

    pij 表示第i队伍打败第j只队伍的概率

    比赛的规则是第一只队伍和第二只打,第三只队伍和第四只打,赢的晋级,然后还是依照这样的规则,如图

    要我们求哪只队伍最终获胜的概率最大,输出该队伍

    dp[i][j] 表示第i次比赛,队伍j获胜,   设k为要与j比赛的队伍    dp[i][j] += sum(dp[i-1][j] * dp[j-1][k] * p[j][k] ) 

    那么怎么判断所要与j比赛的,我们对队伍进行分组, 队伍号/(i<<(i-1)) 就是组号了,  如果是组号是偶数,那么要与后一只队伍比赛,如果是奇数,那么要与前一只队伍比赛

     1 #include <stdio.h>
     2 #include <string.h>
     3 #include <stdlib.h>
     4 #include <algorithm>
     5 #include <iostream>
     6 #include <queue>
     7 #include <stack>
     8 #include <vector>
     9 #include <map>
    10 #include <set>
    11 #include <string>
    12 #include <math.h>
    13 using namespace std;
    14 #pragma warning(disable:4996)
    15 typedef long long LL;                   
    16 const int INF = 1<<30;
    17 /*
    18 
    19 */
    20 double dp[8][256], p[256][256];
    21 int main()
    22 {
    23     int n, i, j, k;
    24     while (scanf("%d", &n), n != -1)
    25     {
    26         int m = 1 << n;
    27         for (i = 0; i < m; ++i)
    28         for (j = 0; j < m; ++j)
    29             scanf("%lf", &p[i][j]);
    30         for (i = 0; i < m; ++i)
    31             dp[0][i] = 1;//dp[i][j]表示第i次比赛,获胜者是j的概率
    32         for (i = 1; i <= n; ++i)//2^n个队伍每次淘汰一半的队伍,所以要进行n次比赛才能决出胜负
    33         {
    34             int t = 1 << (i-1);
    35             for (j = 0; j < m; ++j)
    36             {
    37                 dp[i][j] = 0;
    38                 int teamNumWin = j / t;//分组
    39                 for (k = 0; k < m; ++k)
    40                 {
    41                     int teamNumLose = k / t;//分组
    42                     if (teamNumWin % 2 == 0 && teamNumWin + 1 == teamNumLose)//如果组数是偶数,那么与后一组比赛
    43                         dp[i][j] += dp[i - 1][j] * dp[i - 1][k] * p[j][k];
    44                     if (teamNumWin % 2 == 1 && teamNumWin - 1 == teamNumLose)//如果组数是奇数,与前一组比赛
    45                         dp[i][j] += dp[i - 1][j] * dp[i - 1][k] * p[j][k];
    46                 }
    47             }
    48 
    49         }
    50         double Max = 0;
    51         int ans;
    52         for (i = 0; i < m; ++i)
    53         if (dp[n][i]>Max)
    54         {
    55             Max = dp[n][i];
    56             ans = i;
    57         }
    58         printf("%d
    ", ans + 1);
    59     }
    60     return 0;
    61 }
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    http://codeforces.com/problemset/problem/148/D

    给定w,b 分别为袋子里白老鼠和黑老鼠的数量

    先取到白老鼠的人赢,一轮游戏后,即两个人各取了一只后,会从带子里随机逃出一只老鼠,老鼠逃出的概率是均等的。

    问第一个人赢的概率

    dp[i][j] 表示有i只白鼠,j只黑鼠的时候,第一个人赢的概率

    这个人可能这一轮就赢,即取到白老鼠dp[i][j] += i/(i+j);

    也可能下一轮才赢,那么这一轮可能的情况是:

    第一个人取到黑,第二个人取到黑,逃掉一只黑的 dp[i][j] += j/(i+j)*(j-1)/(i+j-1)*(j-2)/(i+j-2)*dp[i][j-3];

    第一个人取到黑,第二个人取到黑,逃掉一只白的 dp[i][j] += j/(i+j)*(j-1)/(i+j-1)*i/(i+j-2)*dp[i-1][j-2];

    还有一种可能是

    第一个人取到黑,第二个人取到白, 但这不是我们要考虑的,我们要考虑的是第一个人赢的概率

     1 #include <stdio.h>
     2 #include <string.h>
     3 #include <stdlib.h>
     4 #include <algorithm>
     5 #include <iostream>
     6 #include <queue>
     7 #include <stack>
     8 #include <vector>
     9 #include <map>
    10 #include <set>
    11 #include <string>
    12 #include <math.h>
    13 using namespace std;
    14 #pragma warning(disable:4996)
    15 typedef long long LL;                   
    16 const int INF = 1<<30;
    17 /*
    18 dp[i][j] 表示有i只白鼠,j只黑鼠的时候,princess赢的概率
    19 dp[i][j] = i/(i+j) + j/(i+j) * (j-1)/(i+j-1) * (j-2)/(i+j-2) * dp[i][j-3] + j/(i+j) * (j-1)/(i+j-1)*i/(i+j-2)*dp[i-1][j-2]
    20 */
    21 double dp[1000 + 10][1000 + 10];
    22 int main()
    23 {
    24     int w, b, i, j;
    25     scanf("%d%d", &w, &b);
    26     for (i = 1; i <= w; ++i)
    27         dp[i][0] = 1;//如果只有白,没有黑,那么第一次抓就会赢
    28     for (i = 1; i <= w; ++i)
    29     {
    30         for (j = 1; j <= b; ++j)
    31         {
    32             dp[i][j] += (double)i / (i + j);
    33             if (j >= 3)
    34                 dp[i][j] += (double)j / (i + j) * (double)(j - 1) / (i + j - 1) * (double)(j - 2)/(i + j - 2)*dp[i][j - 3];
    35             if (j >= 2)
    36                 dp[i][j] += (double)j / (i + j) * (double)(j - 1) / (i + j - 1) * (double)i / (i + j - 2)*dp[i - 1][j - 2];
    37         }
    38         
    39     }
    40     printf("%.9lf
    ", dp[w][b]);
    41     return 0;
    42 }
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    poj http://poj.org/problem?id=3744

    给定n, p 表示有n个地雷,p表示人走一步的概率,1-p表示人跳两步的概率, 人的其实位置在1

    接下来n个数字表示n个地雷的位置, (地雷的位置不是递增的,坑爹啊)

    我们求人安全走出雷区的概率

    状态转移方程很简单dp[1] = 1 ,  如果i不是雷区, dp[i] = dp[i-1] * p + dp[i-2] * (1-p),   如果i是雷区, dp[i]=0

    但是雷区的长度实在是太长了,而这又是一个递推关系,所以我们可以用矩阵来优化

    1--a[1]

    a[1] + 1--a[2]

    ...进行分段

    首先用矩阵快速幂求的dp[a[1]] ,dp[a[1]-1]

    从而求的dp[a[1]+1] ,dp[a[1]],然后进行第二段矩阵快速幂,依次类推。

      1 #include <stdio.h>
      2 #include <string.h>
      3 #include <stdlib.h>
      4 #include <algorithm>
      5 #include <iostream>
      6 #include <queue>
      7 #include <stack>
      8 #include <vector>
      9 #include <map>
     10 #include <set>
     11 #include <string>
     12 #include <math.h>
     13 using namespace std;
     14 #pragma warning(disable:4996)
     15 typedef long long LL;                   
     16 const int INF = 1<<30;
     17 /*
     18 
     19 */
     20 class Matrix
     21 {
     22 public :
     23     double mat[2][2];
     24     void makeZero()
     25     {
     26         for (int i = 0; i < 2; ++i)
     27         for (int j = 0; j < 2; ++j)
     28             mat[i][j] = 0;
     29     }
     30     void makeUnit()
     31     {
     32         for (int i = 0; i < 2; ++i)
     33         for (int j = 0; j < 2; ++j)
     34             mat[i][j] = (i == j);
     35     }
     36 };
     37 Matrix operator*(const Matrix &lhs, const Matrix &rhs)
     38 {
     39     Matrix ret;
     40     ret.makeZero();
     41     for (int k = 0; k < 2; ++k)
     42     for (int i = 0; i < 2; ++i)
     43     {
     44         if (lhs.mat[i][k] == 0) continue;
     45         for (int j = 0; j < 2; ++j)
     46             ret.mat[i][j] += lhs.mat[i][k] * rhs.mat[k][j];
     47     }
     48     return ret;
     49 }
     50 Matrix operator^(Matrix a, int n)
     51 {
     52     Matrix ret;
     53     ret.makeUnit();
     54     while (n)
     55     {
     56         if (n & 1)
     57             ret = ret * a;
     58         n >>= 1;
     59         a = a * a;
     60     }
     61     return ret;
     62 }
     63 int a[10 + 10];
     64 int main()
     65 {
     66     int n, i, x;
     67     double p;
     68     int pre;
     69     Matrix aa;
     70     double f1, f2;
     71     while (scanf("%d%lf", &n, &p) != EOF)
     72     {
     73         bool flag = false;
     74         for (i = 1; i <= n; ++i)
     75         {
     76             scanf("%d", &a[i]);
     77             if (a[i] - a[i - 1] == 1)
     78                 flag = true;
     79         }
     80         sort(a + 1, a + n + 1);
     81         for (i = 1; i <= n; ++i)
     82         if (a[i] - a[i - 1] == 1)
     83             flag = true;
     84         if (flag)
     85             printf("%.7lf
    ", 0);
     86         else
     87         {
     88             pre = 1;
     89             f1 = 0;
     90             f2 = 1;
     91             for (i = 1; i <= n; ++i)
     92             {
     93                 aa.mat[0][0] = p;
     94                 aa.mat[0][1] = 1;
     95                 aa.mat[1][0] = 1 - p;
     96                 aa.mat[1][1] = 0;
     97                 aa = aa ^ (a[i] - pre);
     98                 pre = a[i]+1;
     99                 
    100                 //double tmpf2 = f2 * aa.mat[0][0] + f1*aa.mat[1][0];
    101                 //double tmpf1 = f2 * aa.mat[0][1] + f1*aa.mat[1][1];
    102                 //f2 = tmpf2;
    103                 //f1 = tmpf1;
    104                 //f2 = f1 * (1 - p);
    105                 //f1 = 0;
    106                 //这是根据上面的注释的代码推出来的
    107                 f2 = f2 * aa.mat[0][1] * (1 - p);
    108             }
    109             printf("%.7f
    ", f2);
    110         }
    111     }
    112     return 0;    
    113 }
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    uva10759 http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1700

    给定n个骰子和数字x,要我们求掷n个骰子,点数至少为x的概率

    dp[i][j] 为前i个骰子,点数为j的概率 dp[i][j] += dp[i-1][j-k]/6    j-k>=0,  初始条件dp[0][0] = 1;

     1 #include <stdio.h>
     2 #include <string.h>
     3 #include <stdlib.h>
     4 #include <algorithm>
     5 #include <iostream>
     6 #include <queue>
     7 #include <stack>
     8 #include <vector>
     9 #include <map>
    10 #include <set>
    11 #include <string>
    12 #include <math.h>
    13 using namespace std;
    14 #pragma warning(disable:4996)
    15 typedef unsigned long long LL;                   
    16 const int INF = 1<<30;
    17 /*
    18 
    19 */
    20 struct node//因为要输出分数,所以建立一个数据结构,存分子和分母
    21 {
    22     LL x, y;//x/y
    23 };
    24 node dp[30][200];
    25 LL gcd(LL a, LL b)
    26 {
    27     if (b == 0)
    28         return a;
    29     return gcd(b, a%b);
    30 }
    31 int main()
    32 {
    33     int n, x;
    34     while (scanf("%d%d", &n, &x), n || x)
    35     {
    36         memset(dp, 0, sizeof(dp));
    37         dp[0][0].x = dp[0][0].y = 1;
    38         int m = n * 6;
    39         for (int i = 1; i <= n; ++i)
    40         {
    41             for (int j = i; j <= m; ++j)
    42             {
    43                 for (int k = 1; k <= 6; ++k)
    44                 if (j - k >= 0 && dp[i - 1][j - k].y != 0)
    45                 {
    46                     if (dp[i][j].y == 0)
    47                     {
    48                         dp[i][j] = dp[i - 1][j - k];
    49                         dp[i][j].y *= 6;
    50                         continue;
    51                     }
    52                     LL y = dp[i - 1][j - k].y * 6;
    53                     LL g = gcd(dp[i][j].y, y);
    54                     LL tmp = dp[i][j].y / g * y;
    55                     dp[i][j].x = dp[i][j].x * (tmp / dp[i][j].y) + dp[i - 1][j - k].x*(tmp / y);
    56                     dp[i][j].y = tmp;
    57                     //dp[i][j] += dp[i - 1][j - k] / 6;
    58                 }
    59             }
    60         }
    61         
    62         node ans = dp[n][x];
    63         for (int i = x + 1; i <= m; ++i)
    64         {
    65             if (dp[n][i].y == 0) continue;
    66             if (ans.y == 0)
    67             {
    68                 ans = dp[n][i];
    69                 continue;
    70             }
    71             LL g = gcd(ans.y, dp[n][i].y);
    72             LL tmp = ans.y / g * dp[n][i].y;
    73             ans.x = ans.x *(tmp / ans.y) + dp[n][i].x*(tmp / dp[n][i].y);
    74             ans.y = tmp;
    75         }
    76         LL g = gcd(ans.x, ans.y);
    77         if (g != 0)
    78         {
    79             ans.x /= g;
    80             ans.y /= g;
    81         }
    82         if (ans.y != 0)
    83         {
    84             if (ans.x%ans.y == 0)
    85                 printf("%llu
    ", ans.x / ans.y);
    86             else
    87                 printf("%llu/%llu
    ", ans.x, ans.y);
    88         }
    89         else
    90             printf("0
    ");
    91     }
    92     return 0;
    93 }
    View Code

    下面的是求期望的

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