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OpenCV 2.4+ C++ 边缘梯度计算

图像的边缘

图像的边缘从数学上是如何表示的呢？

How intensity changes in an edge

图像的边缘上，邻近的像素值应当显著地改变了。而在数学上，导数是表示改变快慢的一种方法。梯度值的大变预示着图像中内容的显著变化了。

用更加形象的图像来解释,假设我们有一张一维图形。下图中灰度值的“跃升”表示边缘的存在：

　　　　 Intensity Plot for an edge

使用一阶微分求导我们可以更加清晰的看到边缘“跃升”的存在(这里显示为高峰值)：

　　　　 First derivative of Intensity - Plot for an edge

由此我们可以得出：边缘可以通过定位梯度值大于邻域的相素的方法找到。

卷积

卷积可以近似地表示求导运算。

那么卷积是什么呢？

卷积是在每一个图像块与某个算子（核）之间进行的运算。

核？！

核就是一个固定大小的数值数组。该数组带有一个锚点，一般位于数组中央。

kernel example

可是这怎么运算啊？

假如你想得到图像的某个特定位置的卷积值，可用下列方法计算：

将核的锚点放在该特定位置的像素上，同时，核内的其他值与该像素邻域的各像素重合；

将核内各值与相应像素值相乘，并将乘积相加；

将所得结果放到与锚点对应的像素上；

对图像所有像素重复上述过程。

用公式表示上述过程如下：

　　　　 $H(x,y) = \sum_{i=0}^{M_{i} - 1} \sum_{j=0}^{M_{j}-1} I(x+i - a_{i}, y + j - a_{j})K(i,j)$

在图像边缘的卷积怎么办呢？

计算卷积前，OpenCV通过复制源图像的边界创建虚拟像素，这样边缘的地方也有足够像素计算卷积了。

近似梯度

比如内核为3时。

首先对x方向计算近似导数：

$G_{x} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -2 & 0 & +2 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} * I$

然后对y方向计算近似导数：

$G_{y} = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ +1 & +2 & +1 \end{bmatrix} * I$

然后计算梯度：

$G = \sqrt{ G_{x}^{2} + G_{y}^{2} }$

当然你也可以写成：

$G = |G_{x}| + |G_{y}|$

开始求梯度

#include "opencv2/imgproc/imgproc.hpp"
#include "opencv2/highgui/highgui.hpp"
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

using namespace cv;

int main( int argc, char** argv ){

    Mat src, src_gray;
    Mat grad;
    char* window_name = "求解梯度";
    int scale = 1;
    int delta = 0;
    int ddepth = CV_16S;

    int c;

    src = imread( argv[1] );

    if( !src.data ){ 
        return -1; 
    }

    //高斯模糊
    GaussianBlur( src, src, Size(3,3), 0, 0, BORDER_DEFAULT );

    //转成灰度图
    cvtColor( src, src_gray, CV_RGB2GRAY );

    namedWindow( window_name, CV_WINDOW_AUTOSIZE );

    Mat grad_x, grad_y;
    Mat abs_grad_x, abs_grad_y;

    Sobel( src_gray, grad_x, ddepth, 1, 0, 3, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
    convertScaleAbs( grad_x, abs_grad_x );

    Sobel( src_gray, grad_y, ddepth, 0, 1, 3, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
    convertScaleAbs( grad_y, abs_grad_y );

    addWeighted( abs_grad_x, 0.5, abs_grad_y, 0.5, 0, grad );

    imshow( window_name, grad );

    waitKey(0);

    return 0;
}

Sobel函数

索贝尔算子（Sobel operator）计算。

C++: void Sobel(InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, int dx, int dy, int ksize=3, double scale=1, double delta=0, intborderType=BORDER_DEFAULT )

参数

src – 输入图像。

dst – 输出图像，与输入图像同样大小，拥有同样个数的通道。

ddepth –
输出图片深度；下面是输入图像支持深度和输出图像支持深度的关系：

src.depth() = CV_8U, ddepth = -1/CV_16S/CV_32F/CV_64F

src.depth() = CV_16U/CV_16S, ddepth = -1/CV_32F/CV_64F

src.depth() = CV_32F, ddepth = -1/CV_32F/CV_64F

src.depth() = CV_64F, ddepth = -1/CV_64F

当 ddepth为-1时， 输出图像将和输入图像有相同的深度。输入8位图像则会截取顶端的导数。

xorder – x方向导数运算参数。

yorder – y方向导数运算参数。

ksize – Sobel内核的大小，可以是：1，3，5，7。

scale – 可选的缩放导数的比例常数。

delta – 可选的增量常数被叠加到导数中。

borderType – 用于判断图像边界的模式。

参数	src – 输入图像。 dst – 输出图像，与输入图像同样大小，拥有同样个数的通道。 ddepth – 输出图片深度；下面是输入图像支持深度和输出图像支持深度的关系： `src.depth()` = `CV_8U`, `ddepth` = -1/`CV_16S`/`CV_32F`/`CV_64F` `src.depth()` = `CV_16U`/`CV_16S`, `ddepth` = -1/`CV_32F`/`CV_64F` `src.depth()` = `CV_32F`, `ddepth` = -1/`CV_32F`/`CV_64F` `src.depth()` = `CV_64F`, `ddepth` = -1/`CV_64F` 当 `ddepth为-1时，` 输出图像将和输入图像有相同的深度。输入8位图像则会截取顶端的导数。 xorder – x方向导数运算参数。 yorder – y方向导数运算参数。 ksize – Sobel内核的大小，可以是：1，3，5，7。 scale – 可选的缩放导数的比例常数。 delta – 可选的增量常数被叠加到导数中。 borderType – 用于判断图像边界的模式。

代码注释：

//在x方向求图像近似导数
Sobel( src_gray, grad_x, ddepth, 1, 0, 3, scale, delta, BORDER_DEFAULT );

//在y方向求图像近似导数
Sobel( src_gray, grad_y, ddepth, 0, 1, 3, scale, delta, BORDER_DEFAULT );

如果我们打印上面两个输出矩阵，可以看到grad_x和grad_y中的元素有正有负。

当然，正方向递增就是正的，正方向递减则是负值。

这很重要，我们可以用来判断梯度方向。

convertScaleAbs函数

线性变换转换输入数组元素成8位无符号整型。

C++: void convertScaleAbs(InputArray src, OutputArray dst, double alpha=1, double beta=0)

参数

src – 输入数组。

dst – 输出数组。

alpha – 可选缩放比例常数。

beta – 可选叠加到结果的常数。

对于每个输入数组的元素函数convertScaleAbs 进行三次操作依次是：缩放，得到一个绝对值，转换成无符号8位类型。

$\texttt{dst} (I)= \texttt{saturate\_cast<uchar>} (| \texttt{src} (I)* \texttt{alpha} + \texttt{beta} |)$

对于多通道矩阵，该函数对各通道独立处理。如果输出不是8位，将调用Mat::convertTo 方法并计算结果的绝对值，例如：
Mat_<float> A(30,30);
randu(A, Scalar(-100), Scalar(100));
Mat_<float> B = A*5 + 3;
B = abs(B);

参数	src – 输入数组。 dst – 输出数组。 alpha – 可选缩放比例常数。 beta – 可选叠加到结果的常数。

为了能够用图像显示，提供一个直观的图形，我们利用该方法，将-256 — 255的导数值，转成0 — 255的无符号8位类型。

addWeighted函数

计算两个矩阵的加权和。

C++: void addWeighted(InputArray src1, double alpha, InputArray src2, double beta, double gamma, OutputArray dst, intdtype=-1)

参数

src1 – 第一个输入数组。

alpha – 第一个数组的加权系数。

src2 – 第二个输入数组，必须和第一个数组拥有相同的大小和通道。

beta – 第二个数组的加权系数。

dst – 输出数组，和第一个数组拥有相同的大小和通道。

gamma – 对所有和的叠加的常量。

dtype – 输出数组中的可选的深度，当两个数组具有相同的深度，此系数可设为-1，意义等同于选择与第一个数组相同的深度。

函数addWeighted 两个数组的加权和公式如下：

　　　　 $\texttt{dst} (I)= \texttt{saturate} ( \texttt{src1} (I)* \texttt{alpha} + \texttt{src2} (I)* \texttt{beta} + \texttt{gamma} )$

在多通道情况下，每个通道是独立处理的，该函数可以被替换成一个函数表达式：

　　　　dst = src1*alpha + src2*beta + gamma;

参数	src1 – 第一个输入数组。 alpha – 第一个数组的加权系数。 src2 – 第二个输入数组，必须和第一个数组拥有相同的大小和通道。 beta – 第二个数组的加权系数。 dst – 输出数组，和第一个数组拥有相同的大小和通道。 gamma – 对所有和的叠加的常量。 dtype – 输出数组中的可选的深度，当两个数组具有相同的深度，此系数可设为-1，意义等同于选择与第一个数组相同的深度。

利用convertScaleAbs和addWeighted，我们可以对梯度进行一个可以用图像显示的近似表达。

这样我们就可以得到下面的效果：

Result of applying Sobel operator to lena.jpg

梯度方向

但有时候边界还不够，我们希望得到图片色块之间的关系，或者研究样本的梯度特征来对机器训练识别物体时候，我们还需要梯度的方向。

二维平面的梯度定义为：

这很好理解，其表明颜色增长的方向与x轴的夹角。

但Sobel算子对于沿x轴和y轴的排列表示的较好，但是对于其他角度表示却不够精确。这时候我们可以使用Scharr滤波器。

Scharr滤波器的内核为：

　　　　 $G_{x} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & +3 \\ -10 & 0 & +10 \\ -3 & 0 & +3 \end{bmatrix} G_{y} = \begin{bmatrix} -3 & -10 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ +3 & +10 & +3 \end{bmatrix}$

这样能提供更好的角度信息，现在我们修改原程序，改为使用Scharr滤波器进行计算：

#include "opencv2/imgproc/imgproc.hpp"
#include "opencv2/highgui/highgui.hpp"
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

using namespace cv;

int main( int argc, char** argv ){

    Mat src, src_gray;
    Mat grad;
    char* window_name = "梯度计算";
    int scale = 1;
    int delta = 0;
    int ddepth = CV_16S;

    int c;

    src = imread( argv[1] );

    if( !src.data ){ 
        return -1; 
    }

    GaussianBlur( src, src, Size(3,3), 0, 0, BORDER_DEFAULT );

    cvtColor( src, src_gray, CV_RGB2GRAY );

    namedWindow( window_name, CV_WINDOW_AUTOSIZE );

    Mat grad_x, grad_y;
    Mat abs_grad_x, abs_grad_y;

    //改为Scharr滤波器计算x轴导数
    Scharr( src_gray, grad_x, ddepth, 1, 0, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
    convertScaleAbs( grad_x, abs_grad_x );

    //改为Scharr滤波器计算y轴导数
    Scharr( src_gray, grad_y, ddepth, 0, 1, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
    convertScaleAbs( grad_y, abs_grad_y );

    addWeighted( abs_grad_x, 0.5, abs_grad_y, 0.5, 0, grad );

    imshow( window_name, grad );

    waitKey(0);

    return 0;
}

Scharr函数接受参数与Sobel函数相似，这里就不叙述了。

下面我们通过divide函数就能得到一个x/y的矩阵。

对两个输入数组的每个元素执行除操作。

C++: void divide(InputArray src1, InputArray src2, OutputArray dst, double scale=1, int dtype=-1)
C++: void divide(double scale, InputArray src2, OutputArray dst, int dtype=-1)

参数

src1 – 第一个输入数组。

src2 – 第二个输入数组，必须和第一个数组拥有相同的大小和通道。

scale – 缩放系数。

dst – 输出数组，和第二个数组拥有相同的大小和通道。

dtype – 输出数组中的可选的深度，当两个数组具有相同的深度，此系数可设为-1，意义等同于选择与第一个数组相同的深度。

该函数对两个数组进行除法：

　　 $\texttt{dst(I) = saturate(src1(I)*scale/src2(I))}$

或则只是缩放系数除以一个数组：

　　 $\texttt{dst(I) = saturate(scale/src2(I))}$

这种情况如果src2是0，那么dst也是0。不同的通道是独立处理的。

参数	src1 – 第一个输入数组。 src2 – 第二个输入数组，必须和第一个数组拥有相同的大小和通道。 scale – 缩放系数。 dst – 输出数组，和第二个数组拥有相同的大小和通道。 dtype – 输出数组中的可选的深度，当两个数组具有相同的深度，此系数可设为-1，意义等同于选择与第一个数组相同的深度。

被山寨的原文

Sobel Derivatives . OpenCV.org

Image Filtering . OpenCV.org

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原文地址：https://www.cnblogs.com/justany/p/2782660.html