莫队算法简析

莫队是个什么玩意儿？
一开始听见这个算法，感觉非常高大上。
后来，听了大概的思想后，就觉得是玄学算法。
现在，我才知道，这是根号算法……

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先看一道例题

BZOJ2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

题目大意

给你一个数列，每次询问一个区间[l,r]$[l,r]$，在这个区间中随机取出两个数，这两个数相等的概率。
N,M≤50000$N,M\le 50000$

暴力？

首先我们想一想答案是多少。
很显然，对于一个区间，我们可以处理出每个数字出现的次数。
记i$i$出现的次数为numi$nu{m}_i$。
那么，对于一个数字i$i$，选中两个i$i$的方案数为C2numi$C_{nu{m}_i}^2$。
而总共的方案数有C2r−l+1$C_{r-l+1}^2$。
所以，对于区间[l,r]$[l,r]$，答案为

∑C2numiC2r−l+1$$\frac{\sum C_{nu{m}_i}^2}{C_{r-l+1}^2}$$

所以，可以考虑每一次直接暴力计算，那么时间复杂度总共是O(NM)$O(NM)$
显然爆炸。

莫队算法

莫队算法用来干嘛？

莫队算法主要用来处理一堆的区间问题……

思想

对于一个状态[l,r]$[l,r]$，可以通过O(1)$O(1)$的时间转移到[l−1,r]$[l-1,r]$、[l,r+1]$[l,r+1]$、[l+1,r]$[l+1,r]$、[l,r−1]$[l,r-1]$。
那么从一个询问[l,r]$[l,r]$，如果要转移到[l′,r′]$[l^{\prime },r^{\prime }]$，花的时间复杂度就是|l−l′|+|r−r′|$|l-l^{\prime }|+|r-r^{\prime }|$。
但是，如果按照题目给定的顺序来做，那么，将会分分钟被卡爆。
So?What should we do?
有一个非常容易想到的做法叫最小生成树。不过，曼哈顿最小生成树用普通方法来跑是贼慢的。有一种O(NlgN)$O(N\lg N)$求曼哈顿最小生成树的方法，但是，我不会……
还有一个分块的做法。
设一个块的大小为k$k$，将所有的询问分块处理。
将询问排个序，以左端点所在的块为第一关键字，以右端点为第二关键字。
分析一下时间复杂度。
当一个询问转移到下一个询问时：
对于左端点，在同一个块中，那么最多跳k$k$次。否则，考虑计算所有跨块的情况，总共顶多只是N$N$次。所以，对于左端点，花的总时间是O(Nk)$O(Nk)$
对于右端点，在每一个块中，总共顶多跳n$n$次。如果是跨块的情况，每次顶多n$n$次。一共有Nk$\frac{N}{k}$个块，那么，对于右端点，时间复杂度为O(N2k)$O\left(\frac{N^2}{k}\right)$。
综上所述，总时间复杂度为O(Nk+N2k)$O\left(Nk+\frac{N^2}{k}\right)$
利用平衡规划的思想，可知当k=N−−√$k=\sqrt{N}$的时候，时间复杂度是最优的，为O(NN−−√)$O\left(N\sqrt{N}\right)$。

回到例题

显然，可以用莫队算法做。
每一次区间变动，就可以用O(1)$O(1)$方法更改状态和答案。
所以一个裸莫队就行了。
据说，用曼哈顿最小生成树来做，最后的时间复杂度也是O(NN−−√)$O\left(N\sqrt{N}\right)$。而且曼哈顿最小生成树还难打。这个分块的方式，还是相当好打的，排完序之后就简单粗暴地干就行了。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define MAXN 50000
#define MAXM 50000
long long gcd(long long a,long long b){
    long long k;
    while (b){
        k=a%b;
        a=b;
        b=k;
    }
    return a;
}
int n,m;
int col[MAXN+1];
int unit;//块的大小
int be[MAXN+1];//表示每个点所在的块
struct Operation{
    int time,l,r;
} o[MAXM+1];
bool cmp(const Operation &x,const Operation &y){
    return be[x.l]<be[y.l] || be[x.l]==be[y.l] && x.r<y.r;
}
struct Answer{
    long long fz,fm;//分子，分母
    void yf(){//约分
        int g=gcd(fz,fm);
        fz/=g;
        fm/=g;
    }
} ans[MAXM+1];
int num[MAXN+1];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&col[i]);
    unit=sqrt(n);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        be[i]=(i-1)/unit+1;
    for (int i=1;i<=m;++i)
        o[i].time=i,scanf("%d%d",&o[i].l,&o[i].r);
    sort(o+1,o+m+1,cmp);
    int nowl=1,nowr=0;
    long long nowfz=0;
    for (int i=1;i<=m;++i){
        while (nowl>o[i].l){
            nowl--;
            nowfz+=/*(num[col[nowl]]+1)*num[col[nowl]]-num[col[nowl]]*(num[col[nowl]]-1)>>1*/num[col[nowl]];
            num[col[nowl]]++;
        }
        while (nowr<o[i].r){
            nowr++;
            nowfz+=num[col[nowr]];
            num[col[nowr]]++;
        }
        while (nowl<o[i].l){
            nowfz-=/*num[col[nowl]]*(num[col[nowl]]-1)-(num[col[nowl]]-1)*(num[col[nowl]]-2)>>1*/num[col[nowl]]-1;
            num[col[nowl]]--;
            nowl++;
        }
        while (nowr>o[i].r){
            nowfz-=num[col[nowr]]-1;
            num[col[nowr]]--;
            nowr--;
        }
        ans[o[i].time]={nowfz,(long long)(o[i].r-o[i].l+1)*(o[i].r-o[i].l)>>1};
        ans[o[i].time].yf();
    }
    for (int i=1;i<=m;++i)
        printf("%lld/%lld
",ans[i].fz,ans[i].fm);
    return 0;
}

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总结

莫队算法是个神奇的算法。
事实上，分块算法都很神奇。
如果一些题目做不出来，那就分块试一试吧！