杂

杂

从杂题等东西中得到的小技巧，没时间写题写题解就放这里了。

upd:10.6

1. 关于无向图无环定向：设(f_S)表示(S)中的点已经形成了DAG的方案数。转移的时候枚举点集(T)，满足(Tigcap S=empty)并且(T)中的点之间没有连边，然后转移到(Sigcup T)，乘上容斥系数((-1)^{|T|+1})。另一种表示方法是求出色多项式(F(x))，则((-1)^nF(-1))就是答案。

2. 点分树的合并：一棵树由一条边被分成两个连通块，两个连通块各搞出一棵点分树，现在要将这两棵点分树合并。设边的端点为(u)和(v)。新的点分树如此构造：取其中的一个根作为新点分树的根，剩下的若干个子树中找到那个有(u)（或(v)）的那个保留下来继续做。如果仅仅要计数，那么相当于(u)到根和(v)到根互相插空，其它的不变。

upd:10.9

昨天的结论题模拟赛。。。。

1. 一条式子：(sum_i inom{m}{2i} inom {m-2i}{n-i}2^{2i})，即(sum_i inom{m}{2i,n-i,m-n-i}2^{2i})，组合意义：给(m)个格子黑白染色，要求黑色比白色多(m-2n)个，不染色的格子有(2)的贡献。DP：(f_{x,y})表示考虑了前(x)个格子，黑比白多(y-x)个。得到转移方程：(f_{x,y}=f_{x-1,y}+2f_{x-1,y-1}+f_{x-1,y-2})，相当于在格点上走，每次往右边或右上走一格，走到((2x,y))的方案数。于是答案为(f_{m,m+m-2n}=inom{2m}{2n})。

upd:10.16

1. 斐波拉契数列记为(F)。有(sum_{i=1}^nF_i^2=F_nF_{n+1})。
2. 见到形如(sum_{i} F(i)x^i)的多项式的时候，如果要写成封闭的形式（即类似(frac{1}{1-x})这样的），可以把(F(x))用上升幂来表示。