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  • ACdream 1154 Lowbit Sum (数位DP)

    Lowbit Sum

    Time Limit: 2000/1000MS (Java/Others) Memory Limit: 128000/64000KB (Java/Others)

    Problem Description

    long long ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        ans += lowbit(i)
    lowbit(i)的意思是将i转化成二进制数之后,仅仅保留最低位的1及其后面的0,截断前面的内容,然后再转成10进制数
    比方lowbit(7),7的二进制位是111,lowbit(7) = 1
    6 = 110(2),lowbit(6) = 2,同理lowbit(4) = 4,lowbit(12) = 4,lowbit(2) = 2,lowbit(8) = 8

    每输入一个n,求ans

    Input

    多组数据。每组数据一个n(1 <= n <= 10^9)

    Output

    每组数据输出一行,相应的ans

    Sample Input

    1
    2
    3

    Sample Output

    1
    3
    4
    



    大致题意:中文的,都能看懂吧。


    解题思路:这里利用了数论的一些小技巧,关于lowbit的规律。我发现这类题数论题上来直接暴力严重超时的。一般来说都有规律!

    開始做的时候直接暴力打表,结果打个表都跑了十几秒,还是算了。。。

    然后就潜心于找规律了。先随便输出了从1開始的几个连续数的lowbit值。还没啥感觉,后来又多输出了几组,才渐渐发现了规律——奇数的lowbit都是1。偶数的lowbit是先增后减的并且还是对称的,并且从两边向中间看的话,都是公比为2的等比数列。这样就能够计算了。假设n为偶数,偶数的能够转化为2*dp[n/2],然后再加上奇数的n/2个1。就能够了; n为奇数时。偶数的还是转化成2*dp[n/2],可是奇数的如今不是n/2个了,而是n/2 + 1个了。要想方便的总结一下。就能够写成dp[n] = 2*dp[n/2] + n/2 + (n%2);可是近期又发现了一种新的写法,那就是位运算的写法。位运算也能够实现乘除,并且比乘除运算要快,当然也能判别一个数的奇偶,可能是由于计算机本来就仅仅能识别0和1的缘故吧,这些位运算就是直接对二进制数操作,所以更快。

    于是状态转移方程就能够写成dp[n] = 2*dp[n>>1] + (n>>1) + (n&1).




    AC代码:

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    
    long long dp(int x){
    	if(x == 1)  return 1;
    	return  2*dp(x>>1) + (x>>1) + (x&1);
    }
    
    int main(){
    	#ifndef ONLINE_JUDGE
    	freopen("in.txt","r",stdin);
    	#endif
    	int n;
    	while(~scanf("%d",&n)){
    		printf("%lld
    ", dp(n));
    	}
    	return 0;
    }


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