Day 11 数论

第一题 鸽巢定理

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=100000+5;
int a[N],q[N];
int main()
{
    int T,n,m;
    int ans=0;
    int q;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            cin>>a[i];
        }
        for (int j=0;j<n;j++)
        {
            ans+=a[j];
            q[j]=ans%m;
        }
        q=ans%m;
        for(int t=0;t<n;t++)
        {
            if
        }
        if (q==0)  cout<<"YES"<<endl;
        else cout<<"no"<<endl;

    }
}

100000，又用两个for显然超时

正确代码，结构好一万倍，但思路还是那个：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=100000+5;
bool a[N];
int sum[N];

int main ()
{
    int T;
    cin>>T;
    while (T--)
    {
     int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int j=0;j<N;j++)
    {
        a[j]=0;
        sum[j]=0;
    }
    int flag=0;a[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int u;
        cin>>u;
        sum[i]=(sum[i-1]+u)%m;
        if(a[sum[i]]) flag=1;
        else a[sum[i]] = 1;
    }
    if(flag==1) cout<<"YES"<<endl;
    else cout<<"NO"<<endl;
    }
}

给你一个n个数的数列，一定有连续的m（m<=n）个数是n的倍数，可以简单证明下：
假设有一n个数的序列，把他们的前缀和存到S[i]数组中，代表从第1个到第i个相加的和，

把他们全对n取余，那范围肯定只有0~n-1这n个数，特判0，肯定yes，

那只剩下1~n-1了，如果没有0那n个数，不可能只有n-1种情况，所以必定有重复的，不妨假设S[i]%n == S[j]%n !=0 (i < j) 此时用(S[j]-S[i])%n肯定为0，也就是说i到j为连续的序列是n的倍数

根据上面的证明，最后我们只要求一个Sn（1~n之和）对m取余，看是否有=0的情况，或者有两个相等的情况就yes，否则no。 

第四题

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;
const int N=100000+5;
LL a[N],b[N],m[N];
//模板大法好。。。
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

void ex_gcd (LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d)
{
    if(!b)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        ex_gcd(b,a%b,y,x,d);
        y -= x*(a/b);
    }
}

LL inv(LL t ,LL p)
{
    LL d,x,y;
    ex_gcd(t,p,x,y,d);
    return d==1?(x%p+p)%p:-1;
}

PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n)
 {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组
    LL x = 0, m = 1;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        {
        LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a);
        if(b % d != 0)  return PLL(0, -1);//答案不存在，返回-1
        LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
        x = x + m*t;
        m *= M[i]/d;
    }
    x = (x % m + m ) % m;
    return PLL(x, m);//返回的x就是答案，m是最后的lcm值
 }

int main()
{
    int k;
    while (cin>>k&&k)
    {
        for(int i=0;i<k;i++)
        {
            a[i]=1;
            cin>>m[i]>>b[i];
        }
        PLL ans =linear(a,b,m,k);
        if(ans.second==-1) cout<<"-1"<<endl;
        else cout<<ans.first<<endl;
    }
    return 0;
}

欧几里得

拓展欧几里得

模板

在这里学到的一点是 一个函数往回返回两个值要怎么返回  typedef  pair <LL, LL> PLL  

调用就是 PLL  ans   ;;;;   ans.firsst /ans.second....