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  • poj 3744 矩阵优化的概率DP

    题意:

      你在一条布满地雷的道路上,开始在坐标1。每次有概率P向前走一步,有概率1-P向前走两步。道中路某几个点上会有地雷,问你安全通过的概率。地雷数N<=10,坐标范围在100000000内。

    假设dp[i]表示安全走到i点的概率,那么dp[i]=P*dp[i-1]+(1-P)*dp[i-2]。很简单的一个转移,可是偏偏坐标范围太大了。直接递推爆内存,而且肯定也会超时。

    我们换一个思路,假设x[i]表示第i个地雷的坐标。对于任何两个地雷x[i]~~x[i-1]+1之间,只会有一个地雷,那就是x[i]。我们安全通过该段的概率等于1 减去猜到x[i]的概率。

    也就是说,我们将n个地雷分成n段分别处理。每次都可以得到一个安全通过某一段的概率,最后将这些概率乘起来就是答案了。

    可是万一两个地雷之间差的很远怎么办呢?内存和时间还不是一样的不允许?

    于是我们用矩阵来优化一下。想想超大fibonacci数的矩阵求法,f[i]=f[i-1]+f[i-2]。f[n]等价于矩阵

    | 1 1 |

    | 1 0 |
    的n次方以后,矩阵的第a[0,0]个元素。

    同样的,我们为这个dp[i]=P*dp[i-1]+(1-P)*dp[i-2]构造一个矩阵

    | P ,1-P |

    | 1 , 0   |

    那么dp[n]就是该矩阵N次方后的第a[0,0]个元素。

    通过二分运算,飞快的就可以求出答案了

    View Code
     1 #include<iostream>
     2 #include<string>
     3 #include<algorithm>
     4 using namespace std;
     5 
     6 struct mat
     7 {
     8     double a[2][2];
     9     mat()
    10     {
    11         int i,j;
    12         for(i=0;i<2;i++)
    13             for(j=0;j<2;j++)
    14                 a[i][j]=0;
    15     }
    16 };
    17 
    18 mat e;
    19 int n,x[11];
    20 double p;
    21 
    22 mat mul(mat a,mat b)
    23 {
    24     int i,j,k;
    25     mat ans;
    26     for(i=0;i<2;i++)
    27         for(j=0;j<2;j++)
    28             for(k=0;k<2;k++)
    29                 ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
    30     return ans;
    31 }
    32 
    33 void prit(mat a)
    34 {
    35     int i,j;
    36     for(i=0;i<2;i++)
    37     {
    38         for(j=0;j<2;j++)
    39             printf("%0.2lf ",a.a[i][j]);
    40         cout<<endl;
    41     }
    42 }
    43 
    44 double matPow(mat a,int k)
    45 {
    46     mat ans=e;
    47     while(k)
    48     {
    49         if(k&1)
    50         {
    51             ans=mul(ans,a);
    52         }
    53         a=mul(a,a);
    54         k=k>>1;
    55     }
    56     //prit(ans);
    57     return ans.a[0][0];
    58 }
    59 
    60 int main()
    61 {
    62     int i;
    63     e.a[0][0]=1;e.a[1][0]=0;e.a[1][0]=0;e.a[1][1]=1;
    64     freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    65     while(scanf("%d%lf",&n,&p)==2)
    66     {
    67         x[0]=0;
    68         for(i=1;i<=n;i++)
    69             scanf("%d",&x[i]);
    70         n++;
    71         sort(x,x+n);
    72         mat res;
    73         double ans=1;
    74         res.a[0][0]=p;res.a[0][1]=1-p;res.a[1][0]=1;res.a[1][1]=0;
    75         for(i=1;i<n;i++)
    76         {
    77             ans*=(1.0-matPow(res,x[i]-x[i-1]-1));
    78         }
    79         printf("%0.7lf\n",ans);
    80     }
    81     return 0;
    82 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ka200812/p/2661876.html
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