bzoj1630 / bzoj2023 [Usaco2005 Nov]Ant Counting 数蚂蚁

Description

    有一天，贝茜无聊地坐在蚂蚁洞前看蚂蚁们进进出出地搬运食物．很快贝茜发现有些蚂蚁长得几乎一模一样，于是她认为那些蚂蚁是兄弟，也就是说它们是同一个家族里的成员．她也发现整个蚂蚁群里有时只有一只出来觅食，有时是几只，有时干脆整个蚁群一起出来．这样一来，蚂蚁们出行觅食时的组队方案就有很多种．作为一头有数学头脑的奶牛，贝茜注意到整个蚂蚁群由T(1≤T≤1000)个家族组成，她将这些家族按1到T依次编号．编号为i的家族里有Ni(1≤Ni≤100)只蚂蚁．同一个家族里的蚂蚁可以认为是完全相同的．

    如果一共有S，S+1…．，B(1≤S≤B≤A)只蚂蚁一起出去觅食，它们一共能组成多少种不同的队伍呢？注意：只要两支队伍中所包含某个家族的蚂蚁数不同，我们就认为这两支队伍不同．由于贝茜无法分辨出同一家族的蚂蚁，所以当两支队伍中所包含的所有家族的蚂蚁数都相同时，即使有某个家族换了几只蚂蚁出来，贝茜也会因为看不出不同而把它们认为是同一支队伍．    比如说，有个由3个家族组成的蚂蚁群里一共有5只蚂蚁，它们所属的家族分别为1，1，2，2，3．于是出去觅食时它们有以下几种组队方案：

  ·1只蚂蚁出去有三种组合：(1)(2)(3)

  ·2只蚂蚁出去有五种组合：(1，1)(1，2)(1，3)(2，2)(2，3)

  ·3只蚂蚁出去有五种组合：(1，1，2)(1，1，3)(1，2，2)(1，2，3)(2，2，3)

  ·4只蚂蚁出去有三种组合：(1，2，2，3)(1，1，2，2)(1，1，2，3)

  ·5只蚂蚁出去有一种组合：(1，1，2，2，3)

    你的任务就是根据给出的数据，计算蚂蚁们组队方案的总数．

Input

    第1行：4个用空格隔开的整数T，A，S，B.

    第2到A+1行：每行是一个正整数，为某只蚂蚁所在的家族的编号．

Output

 

    输出一个整数，表示当S到B（包括S和B）只蚂蚁出去觅食时，不同的组队方案数．

    注意：组合是无序的，也就是说组合1，2和组合2，1是同一种组队方式．最后的答案可能很大，你只需要输出答案的最后6位数字．注意不要输出前导0以及多余的空格．

 

Sample Input

3 5 2 3
1
2
2
1
3

INPUT DETAILS:

Three types of ants (1..3); 5 ants altogether. How many sets of size 2 or
size 3 can be made?

Sample Output

10

OUTPUT DETAILS:

5 sets of ants with two members; 5 more sets of ants with three members

 

---

 

错觉：组合数学？？？（大雾）

然鹅是（万能）dp

设$f[i][j]$表示从前$i$个家族选出$j$只蚂蚁的方案数

则 $f[i][j]+=sum_{u=1}^{min(j,d[i])}f[i-1][j-u]$

但是会MLE+TLE

于是我们可以滚动数组+前缀和。

转化后就变成了$f[j]=sum[j]-sum[j-d[i]-1]$

end.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#define re register
using namespace std;
void read(int &x){
    char c=getchar();x=0;
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
#define p 1000000
int t,a,s,b,q,f[100002],d[1002],sum[100002],ans;
int main(){
    read(t);read(a);read(s);read(b); f[0]=sum[0]=1;
    for(re int i=1;i<=a;++i) read(q),++d[q];
    for(re int i=1;i<=t;++i){
        for(re int j=1;j<=b;++j) sum[j]=(sum[j-1]+f[j])%p;//前缀和处理
        for(re int j=b;j>=1;--j){
            if(j<=d[i]) f[j]=sum[j]%p;//注意边界
            else f[j]=(sum[j]-sum[j-d[i]-1])%p;
        }
    }
    for(re int i=s;i<=b;++i) ans=(ans+f[i])%p;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}