平衡树之Splay

首先，splay是一种通过大力证明可证的严格nlogn的数据结构（由于我现在不会所以现在不证）

spaly是一种BST(二叉搜索树)，因此它具有BST的所有性质（最主要的就是中序遍历表示节点从小到大）；

为了能更好的理解splay，一定要先学BST，否则会不清楚splay的一些由BST得到的性质；

平衡树，首先它是一棵二叉树，因此对于每个节点i，要记录i的左儿子ch[0],和右儿子ch[1];

    为了方便splay的操作，我们还应该记录它的父亲节点；

    然后可以在每个节点上根据题意维护一些乱七八糟的东西：

接下来就用普通平衡树这道题当作spaly的例题；

第x个点维护sum[x]表示x子树中所有值出现的次数,lazy[x]表示x这个点表示的值出现的次数，v[x]表示编号为x的点所代表的权值是多少；

class node{
    public:
    int v;
    int father;
    int ch[3];
    int sum,lazy;
}BST[100010];

然后介绍splay的函数；

1.就像线段树那样，我们需要一个函数updata()，通过这个点的儿子的信息来更新这个点的信息；

void updata(int x){BST[x].sum=(BST[BST[x].ch[0]].sum+BST[BST[x].ch[1]].sum+BST[x].lazy);}

　　updata()看不懂还是快回去学线段树吧；

2.为了操作的方便(以后再说)，我们需要一个函数identify(),确定一个点和它父亲的父子关系(左儿子还是右儿子)；

int identify(int x){return BST[BST[x].father].ch[0]==x?0:1;}

　　identify()看不懂去学三目运算符吧；

3.为了操作的方便,我们需要一个函数connect(),使得点x和点y产生某种父子关系；

void connect(int x,int fa,int judge){BST[x].father=fa;BST[fa].ch[judge]=x;}

        其中judge表示x是fa的那个儿子，左儿子是0，右儿子是1；

4.为了达到nlogn的复杂度，我们需要一个操作，既破坏了原来的结构，又产生了一个新的结构，并且新的结构满足BST的性质，那就是rotate()操作；

　　如图，上图表示的就是右旋操作；

      对于x来说，y，c的值都要比x的值大，所以当x转到y的位置上时，理所当然的，y以及c的子树完全可以保持原有的形状变成x的右儿子

      然后再次观察：v[a]<v[x]<v[b]; 好吧，他们不能放到x的同一个方向的子树上，那么就不动了；

      欸？等等，x的右儿子是y准没错，左儿子是a也是没错的，那么b呢？中儿子？这是在骗小孩子吗？

      所以现在急需一个神奇的操作，把b及其子树安排妥当；

      我们发现，v[b]>v[x]; 并且由于v[x]<v[y],v[a]<v[y],v[b]<v[y];所以v[b]<v[y];

      因为x是原来y的左儿子，所以右旋后y的左儿子是空的，正好可以把b放到y的左儿子的位置；

      好了，右旋操作说完了，左旋操作与其类似；为了方便，采用异或操作把左旋和右旋结合到一个函数中；

void rotate(int x){
    int y=BST[x].father,faroot=BST[y].father,fajudge=identify(y),yjudge=identify(x),son=BST[x].ch[yjudge^1];
    connect(son,y,yjudge); connect(y,x,yjudge^1); connect(x,faroot,fajudge);
    updata(y); updata(x);    
}

5.这个函数便是splay的精华，也是splay名字的来源：splay()函数(伸展操作)

   为了达到不知道怎么证明的严格nlogn的复杂度，我们需要咋一些操作后，把操作的点通过旋转操作转到根节点上，这就是splay操作；

   

　　对于一个点x，设它的父亲是y，父亲的父亲是z，如果要将他旋转到z那里，存在两种方法：

    　　1）.先旋转y,再旋转x；     2）.旋转两次x；

　　如果x与y和y与z的父子关系一样，我们就采用第一种旋转方式，否则采用第二种旋转方式；

　　这样做的原因就是为了保证时间复杂度是nlogn,否则可能退化成链；

6.我们需要再原有的splay上新建一个节点，所以存在函数crepoint();

int crepoint(int v,int fa){     
      ++n;BST[n].v=v;BST[n].father=fa;BST[n].sum=BST[n].lazy=1;
       return n;
}

　　这个函数应该就不用解释了；

7.我们同样需要一个函数destroy(),用来再原splay中摧毁一个节点得到一个新的splay；

void destroy(int x){
    BST[x].v=0;
    BST[x].father=0;
    BST[x].ch[0]=0;
    BST[x].ch[1]=0;
    BST[x].sum=0;
    BST[x].lazy=0;
    if(x==n) --n;
}

 　　这个函数在最后可以写个啥用没有的优化；

8.根据BST的性质，我们可以定义一个查找函数find(),用来查找值为x的节点的编号是多少；

int find(int goal){
     int now=BST[0].ch[1];
     while(1){
          if(BST[now].v==goal){
          splay(now,BST[0].ch[1]);
          return now;
     }
     int nxt=goal<BST[now].v?0:1;
     if(!BST[now].ch[nxt]) return 0;
     now=BST[now].ch[nxt];
     }
}

　　这个函数要是看不明白就自己回去学BST吧； 

　 注意一个细节，当我们找到了一个节点的值是goal的时候，我们需要将这个点通过伸展操作一路转到根节点；(这是为了保证时间复杂度，也方便了以后的操作)

9.光有crepoint()函数可不够，因为我们不知道新加入的节点在splay中的准确位置，所以我们还需要一个build()函数；(先看代码吧)

int build(int v){
    points++;
    if(n==0){
        BST[0].ch[1]=1;
        crepoint(v,0);
    }
    else{
        int now=BST[0].ch[1];
        while(1){
            BST[now].sum++;
            if(v==BST[now].v){
                ST[now].lazy++;
                return now;
            }
            int nxt=v<BST[now].v?0:1;
            if(!BST[now].ch[nxt]){
                crepoint(v,now);
                BST[now].ch[nxt]=n;
                return n;
            }
                now=BST[now].ch[nxt];
        }
    }
    return 0;
}

　　我们需要一个小小的特判，如果这个点是第一个加入的点，我们需要把他设为根节点；

　　然后我们在splay中按照BST的性质不断向下找到属于自己的位置，如果没找到，那么就新建一个节点；

10.如果只有build()函数插入新节点，我们并无法保证时间复杂度是nlogn,所以我们需要push()函数，在build()之后将新加入的点splay(一路旋转)到根节点的位置;

void push(int v){int now=build(v);splay(now,BST[0].ch[1]);}

11.删除操作：pop()函数；

void pop(int v){
    int deal=find(v);
    if(!deal) return;
    points--;
    if(BST[deal].lazy>1){
        BST[deal].lazy--;
        BST[deal].sum--;
        return;
    }
    if(!BST[deal].ch[0]){
        BST[0].ch[1]=BST[deal].ch[1];
        BST[BST[0].ch[1]].father=0;
    }
    else{
        int lef=BST[deal].ch[0];
        while(BST[lef].ch[1]) lef=BST[lef].ch[1];
        splay(lef,BST[deal].ch[0]);
        int rig=BST[deal].ch[1];
        connect(rig,lef,1);
        connect(lef,0,1);
        updata(lef);
    }
    destroy(deal);
}

　　如果我们要删除一个权值为v的节点，首先通过find()函数找到权值为v的点的节点编号x，如果节点x所表示的值的出现次数大于1次，那么就不需要删除节点，仅仅次数减1就好了；

　　注意到，通过find()函数，我们把要删除的点转到了根节点的位置，如果转完后根节点没有左子树，那么就直接删除根节点就好，把转完后根节点的右儿子当作转完后的根节点。可以发现，这样并不会破坏BST的性质；

　　如果有左子树呢?删除操作就没法进行了吗？显然不是！

　　对于转完后的根节点x，它的左儿子是l，右儿子是r；

　　我们将l子树中权值最大值的点y(一直走右儿子直到走不了)转到l所在的位置，由于y的权值是l子树最大的，所以y节点不存在右儿子；并且我们知道：v[y]<v[x]<v[r]；

　　那么在删除节点x之后，我们将y作为splay的新根，因为y不存在右儿子，所以把r当作y的右儿子；

　　可以证明，这样做并不会破坏BST的性质；

至此，所有splay的常规操作都已经结束了，完结撒花~

但仅有常规操作无法完成一些题目要求，所以我们需要功能操作，但这与BST的基本功能操作就一至了，所以主要讲解splay的本文就不多介绍了，不会的可以看代码理解；

12.查询排名为x的值: atrank()；

int atrank(int x){
    if(x>points) return -999999999;
    int now=BST[0].ch[1];
    while(1){
        int tmp=BST[now].sum-BST[BST[now].ch[1]].sum;
        if(x>BST[BST[now].ch[0]].sum&&x<=tmp) break;
        if(x<tmp){
            now=BST[now].ch[0];
        }
        else{
            x=x-tmp;
            now=BST[now].ch[1];
        }
    }
    splay(now,BST[0].ch[1]);
    return BST[now].v;
}

13.查询值为v的点在BST中的排名：rank();

int rank(int v){
    int ans=0,now=BST[0].ch[1];
    while(1){
        if(BST[now].v==v){
            int tmpp=ans+BST[BST[now].ch[0]].sum+1;
            splay(now,BST[0].ch[1]);
            return tmpp;
        }
        if(now==0) return 0;
        if(v<BST[now].v){
            now=BST[now].ch[0];
        }
        else{
            ans+=BST[BST[now].ch[0]].sum+BST[now].lazy;
            now=BST[now].ch[1];
        }
    }
    return 0;
}

一定要注意，atrank()和rank()都需要在结束时进行splay操作，把操作的点转到根节点(为了保证时间复杂度是nlogn)

14.查询值为v的数的前驱（所有小于v的数中的最大值）

int upper(int v){
    int now=BST[0].ch[1];
    int result=999999999;
    while(now){
        if(BST[now].v>v&&BST[now].v<result) result=BST[now].v;
        if(v<BST[now].v) now=BST[now].ch[0];
        else{
            now=BST[now].ch[1];
        }
    }
    return result;
}

15.查询值为v的数的后记（所有大于v的数中的最小值）

int lower(int v){
    int now=BST[0].ch[1];
    int result=-999999999;
    while(now){
        if(BST[now].v<v&&BST[now].v>result) result=BST[now].v;
        if(v>BST[now].v) now=BST[now].ch[1];
        else now=BST[now].ch[0];
    }
    return result;
}

然后就是愉悦的完整代码时间啦！（传送门：普通平衡树）

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
class Splay{
    public:
        class node{
            public:
            int v;
            int father;
            int ch[3];
            int sum,lazy;
        }BST[100010];
        int n,points;
        void updata(int x){BST[x].sum=(BST[BST[x].ch[0]].sum+BST[BST[x].ch[1]].sum+BST[x].lazy);}
        int identify(int x){return BST[BST[x].father].ch[0]==x?0:1;}
        void connect(int x,int fa,int judge){BST[x].father=fa;BST[fa].ch[judge]=x;}
        void rotate(int x){
            int y=BST[x].father,faroot=BST[y].father,fajudge=identify(y),yjudge=identify(x),son=BST[x].ch[yjudge^1];
            connect(son,y,yjudge); connect(y,x,yjudge^1); connect(x,faroot,fajudge);
            updata(y); updata(x);    
        }
        void splay(int from,int to){
            to=BST[to].father;
            while(BST[from].father!=to){
                int fa=BST[from].father;
                if(BST[fa].father==to) rotate(from);
                else if(identify(from)==identify(fa)){
                    rotate(fa);
                    rotate(from);
                }
                else{
                    rotate(from);
                    rotate(from);
                }
            }
        }
        int crepoint(int v,int fa){
            ++n;BST[n].v=v;BST[n].father=fa;BST[n].sum=BST[n].lazy=1;
            return n;
        }
        void destroy(int x){
            BST[x].v=0;
            BST[x].father=0;
            BST[x].ch[0]=0;
            BST[x].ch[1]=0;
            BST[x].sum=0;
            BST[x].lazy=0;
            if(x==n) --n;
        }
        int find(int goal){
            int now=BST[0].ch[1];
            while(1){
                if(BST[now].v==goal){
                    splay(now,BST[0].ch[1]);
                    return now;
                }
                int nxt=goal<BST[now].v?0:1;
                if(!BST[now].ch[nxt]) return 0;
                now=BST[now].ch[nxt];
            }
        }
        int build(int v){
            points++;
            if(n==0){
                BST[0].ch[1]=1;
                crepoint(v,0);
            }
            else{
                int now=BST[0].ch[1];
                while(1){
                    BST[now].sum++;
                    if(v==BST[now].v){
                        BST[now].lazy++;
                        return now;
                    }
                    int nxt=v<BST[now].v?0:1;
                    if(!BST[now].ch[nxt]){
                        crepoint(v,now);
                        BST[now].ch[nxt]=n;
                        return n;
                    }
                    now=BST[now].ch[nxt];
                }
            }
            return 0;
        }
        void push(int v){int now=build(v);splay(now,BST[0].ch[1]);}
        void pop(int v){
            int deal=find(v);
            if(!deal) return;
            points--;
            if(BST[deal].lazy>1){
                BST[deal].lazy--;
                BST[deal].sum--;
                return;
            }
            if(!BST[deal].ch[0]){
                BST[0].ch[1]=BST[deal].ch[1];
                BST[BST[0].ch[1]].father=0;
            }
            else{
                int lef=BST[deal].ch[0];
                while(BST[lef].ch[1]) lef=BST[lef].ch[1];
                splay(lef,BST[deal].ch[0]);
                int rig=BST[deal].ch[1];
                connect(rig,lef,1);
                connect(lef,0,1);
                updata(lef);
            }
            destroy(deal);
        }
        int rank(int v){
            int ans=0,now=BST[0].ch[1];
            while(1){
                if(BST[now].v==v){
                    int tmpp=ans+BST[BST[now].ch[0]].sum+1;
                    splay(now,BST[0].ch[1]);
                    return tmpp;
                }
                if(now==0) return 0;
                if(v<BST[now].v){
                    now=BST[now].ch[0];
                }
                else{
                    ans+=BST[BST[now].ch[0]].sum+BST[now].lazy;
                    now=BST[now].ch[1];
                }
            }
            return 0;
        }
        int atrank(int x){
            if(x>points) return -999999999;
            int now=BST[0].ch[1];
            while(1){
                int tmp=BST[now].sum-BST[BST[now].ch[1]].sum;
                if(x>BST[BST[now].ch[0]].sum&&x<=tmp) break;
                if(x<tmp){
                    now=BST[now].ch[0];
                }
                else{
                    x=x-tmp;
                    now=BST[now].ch[1];
                }
            }
            splay(now,BST[0].ch[1]);
            return BST[now].v;
        }
        int upper(int v){
            int now=BST[0].ch[1];
            int result=999999999;
            while(now){
                if(BST[now].v>v&&BST[now].v<result) result=BST[now].v;
                if(v<BST[now].v) now=BST[now].ch[0];
                else{
                    now=BST[now].ch[1];
                }
            }
            return result;
        }
int lower(int v){
    int now=BST[0].ch[1];
    int result=-999999999;
    while(now){
        if(BST[now].v<v&&BST[now].v>result) result=BST[now].v;
        if(v>BST[now].v) now=BST[now].ch[1];
        else now=BST[now].ch[0];
    }
    return result;
}
}Stree;
int main()
{
    //freopen("splay.in","r",stdin);
    //freopen("my.out","w",stdout);
    int n;
    cin>>n;
    Stree.push(999999999);
    inc(i,1,n){
        int type,x;
        scanf("%d%d",&type,&x);
        if(type==1){
            Stree.push(x);
        }
        else if(type==2){
            Stree.pop(x);
        }
        else if(type==3){
            printf("%d
",Stree.rank(x));
        }
        else if(type==4){
            printf("%d
",Stree.atrank(x));
        }
        else if(type==5){
            printf("%d
",Stree.lower(x));
        }
        else{
            printf("%d
",Stree.upper(x));
        }
    }
}