APIO 2010 特别行动队 斜率优化DP

Description

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如 (i, i + 1, ..., i + k)(i,i+1,...,i+k) 的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 x = x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k}x=xi​+xi+1​+...+xi+k​ 。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 x':x'= ax^2+bx+cx′:x′=ax2+bx+c ，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4x1​=2,x2​=2,x3​=3,x4​=4 。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

Input

输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 x_1, x_2, …, x_nx1​,x2​,…,xn​ ，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。

Output

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

Sample Input

4

-1 10 -20

2 2 3 4

Sample Output

9

HINT

20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

Solution

看到这道题的时候，我们可以轻易地先写一个暴力DP(f[i]表示前i个队员战斗力修正后的最大值):

f[i]={max(f[j]+calc(sum[i]-sum[j-1]))}

其中calc()即为图中所给的A*x*x+B*x+Cx*x+B*x+C计算函数。

这样n^2暴力DP显然是过不去的,所以我们需要斜率优化。

如果j的决策比k优秀,即:

f[j]+F(c[i]−c[j])>f[k]+F(c[i]−c[k])

又有F(x)=Ax^2+Bx+CF(x)=Ax^2+Bx+C

直接带入得到

f[j]+A(c[i]-c[j])^2+B(c[i]-c[j])+Cf[j]+A(c[i]−c[j])2+B(c[i]−c[j])+C

右边同理

然后两边同时减掉一部分得

f[j]+Ac[j]^2-2Ac[i]c[j]-Bc[j]>f[k]+Ac[k]^2-2Ac[i]c[k]-Bc[k]f[j]+Ac[j]2−2Ac[i]c[j]−Bc[j]>f[k]+Ac[k]2−2Ac[i]c[k]−Bc[k]

然后:

2Ac[i](c[j]-c[k])<(f[j]+Ac[j]^2-Bc[j])-(f[k]+Ac[k]^2-Bc[k])2Ac[i](c[j]−c[k])<(f[j]+Ac[j]2−Bc[j])−(f[k]+Ac[k]2−Bc[k])

然后:

c[i]<(f[j]+Ac[j]^2-Bc[j])-(f[k]+Ac[k]^2-Bc[k])/2A(c[j]-c[k])(c[j]−c[k])

然后就可以进行斜率优化了。

Code

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int a,b,c,n,l,r,h,t;
ll sum[1000100],que[1000100],x[1000100],f[1000100],s[1000100];
ll calc(ll x){return a*x*x+b*x+c;}
ll q(ll x){return f[x]+a*sum[x]*sum[x]-b*sum[x];}
double rate(ll j,ll k){return (q(j)-q(k))*1.0/(2.0*a*(sum[j]-sum[k]));}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&x[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+x[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=-1e18;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r&&rate(que[l],que[l+1])<=sum[i]*1.0)l++;
                f[i]=f[que[l]]+calc(sum[i]-sum[que[l]]);
                while(l<r&&rate(que[r-1],que[r])>=rate(que[r],i))r--;
                que[++r]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}