[HNOI2008] 玩具装箱 D2 T3 斜率优化DP

Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个 常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4

3

4

2

1

4

Sample Output

1

Solution

又是一道斜率优化基础入门题，先写暴力DP:

dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]−sum[j]+i−j−1−L)2)，然后进行斜率优化即可。

Code

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define inf 1e18
using namespace std;
int n,l,sum[50100],a[500100];
int que[50100],h,t;
long long f[50100],q[50100],p[50100];
long long q1(long long x){return f[x]+q[x]*q[x];}
double count(int x,int y){return (q1(x)-q1(y))*1.0/(2.0*(q[x]-q[y]));}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&l);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum[i]=a[i]+sum[i-1];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        f[i]=inf;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        q[i]=sum[i]+i;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        p[i]=sum[i]+i-l-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(h<t&&count(que[h],que[h+1])<=p[i]*1.0)h++;
        f[i]=f[que[h]]+(p[i]-q[que[h]])*(p[i]-q[que[h]]);
        while(h<t&&count(que[t-1],que[t])>=count(que[t],i))t--;
        que[++t]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}