HDU-3605 Escape(最大流，状态压缩)

题目链接：HDU-3605 Escape

题意

地球上有$n(1leq n leq 100000)$个人需要移居到$m(1leq m leq 10)$个外星球上，每个人只有特定的若干个外星球可供选择，每个外星球有接受移居的人数上限，问能否让所有人移居成功。

思路

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由于$n$的范围有$1e5$，直接建图的话边可能达到$1e6$条，跑最大流会超时。

考虑到$m$最大只有$10$，每个人可选择的若干星球最多只有$2^{10}$种可能的状态，所以实际上当$n$比较大时，很多人可选择的若干个星球是一样的。我们可以用二进制状态压缩来表示一种可选星球的状态，统计出这种状态的人数，以状态为结点，就不用每个人用一个结点表示。

用$s$和$t$分别表示源点、汇点，$(始点,终点,容量)$表示一条边，建图如下：

对于每一个状态，连边$(s,状态,可选星球是这个状态的人数)$；

对于一个状态中可选择的每一个星球，连边$(状态,星球,无穷大)$；

对于每一个星球，连边$(星球,t,星球的人数上限)$。

最大流就是能成功移居的最大人数。

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代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using std::queue;
const int INF = 0x3f3f3f3f, N = 2000, M = 30000;
int head[N], d[N], cnt[N];
int s, t, tot, maxflow;
struct Edge
{
    int to, cap, nex;
} edge[M];
queue<int> q;
void add(int x, int y, int z) {
    edge[++tot].to = y, edge[tot].cap = z, edge[tot].nex = head[x], head[x] = tot;
    edge[++tot].to = x, edge[tot].cap = 0, edge[tot].nex = head[y], head[y] = tot;
}
bool bfs() {
    memset(d, 0, sizeof(d));
    while (q.size()) q.pop();
    q.push(s); d[s] = 1;
    while (q.size()) {
        int x = q.front(); q.pop();
        for (int i = head[x]; i; i = edge[i].nex) {
            int v = edge[i].to;
            if (edge[i].cap && !d[v]) {
                q.push(v);
                d[v] = d[x] + 1;
                if (v == t) return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int dinic(int x, int flow) {
    if (x == t) return flow;
    int rest = flow, k;
    for (int i = head[x]; i && rest; i = edge[i].nex) {
        int v = edge[i].to;
        if (edge[i].cap && d[v] == d[x] + 1) {
            k = dinic(v, std::min(rest, edge[i].cap));
            if (!k) d[v] = 0;
            edge[i].cap -= k;
            edge[i^1].cap += k;
            rest -= k;
        }
    }
    return flow - rest;
}
void init(int n) {
    tot = 1, maxflow = 0;
    s = n, t = s + 1;
    memset(head, 0, sizeof(head));
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
}

int main() {
    int n, m;
    while (~scanf("%d %d", &n, &m)) {
        init(1024 + m);
        for (int i = 0, sta = 0; i < n; i++, sta = 0) {
            for (int j = 0, ok; j < m; j++) {
                scanf("%d", &ok);
                sta = sta * 2 + ok;
            }
            if (!cnt[sta]) for (int j = m - 1; j >= 0; j--) {
                if ((sta >> j) & 1) add(sta, 1023 + m - j, INF);
            }
            cnt[sta]++;
        }
        for (int i = 0; i < 1024; i++) if (cnt[i]) add(s, i, cnt[i]);
        for (int i = 0, num; i < m; i++) {
            scanf("%d", &num);
            add(i + 1024, t, num);
        }
        while (bfs()) maxflow += dinic(s, INF);
        if (maxflow >= n) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
    return 0;
}