《0-1 背包问题》

寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：

　　　　第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

　　　　第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

　　　　　　　其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；

　　　　由此可以得出递推关系式：

　　　　1) j<w(i)      V(i,j)=V(i-1,j)

　　　　2) j>=w(i)     V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

Java 代码实现

package com.zuoyan.packageproblem;

import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static final int I =100;
    public static final int J =100;
    public static int goodCount;
    public static int capacity;
    public static int V[][] = new int [I][J];
    public static int weight[] = new int [I];
    public static int value [] = new int [I];
    
    
    public static void main(String[] args) {

        Scanner in = new Scanner(System.in);
        goodCount = in.nextInt();
        capacity = in.nextInt();
        
        for(int i = 1;i<=goodCount;i++)
        {
            weight[i] = in.nextInt();
            value [i] = in.nextInt();
        }
        
        int maxValue = FinaMax();
        System.out.println(maxValue);
        
    }
    
    public static int FinaMax(){
        for(int i = 1;i<=goodCount;i++)
        {
            for(int j = 1;j<=capacity;j++)
            {
                //分两种情况   
                //1.当前背包容量不能放进当前商品
                if(weight[i]>j)
                {
                    V[i][j]=V[i-1][j];
                }
                //2.当期背包容量大于当前商品的重量
                else{
                    //不装当前商品价值最大
                    if(V[i-1][j]>(V[i-1][j-weight[i]]+value[i]))
                    {
                        V[i][j] = V[i-1][j];
                    }
                    //装上当前商品价值最大
                    else{
                        V[i][j] = V[i-1][j-weight[i]]+value[i];
                    }
                }
            }
        }
        return V[goodCount][capacity];
    }
    
}